1、41圆的方程41.1圆的标准方程圆的标准方程提出问题右图是一个公园内的摩天轮该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示： .问题3：以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示： 3.导入新知圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆
2、心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆化解疑难1由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点2几种特殊位置的圆的标准方程：条件圆的标准方程过原点(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圆心在x轴上(xa)2y2r2(r0)圆心在y轴上x2(yb)2r2(r0)圆心在x轴上且过原点(xa)2y2a2(a0)圆心在y轴上且过原点x2(yb)2b2(b0)与x轴相切(xa)2(yb)2b2(b0)与y
3、轴相切(xa)2(yb)2a2(a0)点与圆的位置关系提出问题爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点看图回答下列问题：问题1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种点在圆外、圆上、圆内问题2：如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离导入新知点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MCr点M在圆C上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内MCr点M在圆C外点M(
4、x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r2化解疑难1点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外2判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法求圆的标准方程例1过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24答案C类题通法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷活学活用求下列圆的标
5、准方程：(1)圆心是(4，1)，且过点(5,2)；(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，4)；(3)求过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程解：(1)圆的半径长r，故圆的标准方程为(x4)2(y1)210.(2)设圆心为C(0，b)，则(30)2(4b)252，解得b0或b8，则圆心为(0,0)或(0，8)又半径r5，圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.(3)直线CD的斜率kCD1，线段CD中点E的坐标为(0,2)，故线段CD的垂直平分线的方程为y2x，即yx2，令y0，得x2，即圆心为(2,0)由两点间的距离公式，得r.所以所求圆的标准方程为(x2)2
6、y210.点与圆的位置关系例2如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)(1)求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外解(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a5，b6.又由两点间的距离公式得r|CP1|，故所求圆的方程为(x5)2(y6)210.(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM|，|CN|，|CQ| 3.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内类题通法1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准
7、方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围活学活用若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是()Aa|1a1Ba|0a1Ca|a1或a1Da|a1答案：A10求解圆的方程中漏解典例已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解法一：如图所示，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4.在RtAOC中，|OC| 3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3.所求圆的方程为(x3)2y225，或(x3)2y225.法二：由题意设所求圆的方程为(xa)2y225.圆
8、截y轴线段长为8，圆过点A(0,4)代入方程得a21625，a3.所求圆的方程为(x3)2y225，或(x3)2y225.易错防范1若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错2借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况成功破障圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的标准方程为_答案：(x2)2(y3)25随堂即时演练1圆(x1)2(y2)24的圆心、半径分别是()A(1，2)，4B(1，2)，2C(1,2)，4 D(1,2)，2答案：D2点P(m,5)
9、与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定答案：A3圆(x3)2(y1)225上的点到原点的最大距离是_答案：54经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_答案：(x2)2y245求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)为顶点的三角形的外接圆的方程答案：(x4)2(y1)25课时达标检测一、选择题1已知点P(3,2)和圆的方程(x2)2(y3)24，则它们的位置关系为()A在圆心B在圆上C在圆内 D在圆外答案：C2以P(2,3)为圆心，且与y轴相切的圆的方程是()A(x2)2(y3)24B(x2)2(y3)24C(x2)2(y3)29D(x2)2(y3
10、)29答案：B3圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21答案：A4已知圆C经过点P(2,4)和点Q(4,4)，直径为2，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y3)210B(x1)2(y5)210C(x1)2(y3)210或(x1)2(y5)210D(x1)2(y3)210或(x1)2(y5)210答案：D5当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x1)2(y2)25C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)25答案：C二、填
11、空题6圆心为直线xy20与直线2xy80的交点，且经过原点的圆的标准方程是_答案：(x2)2(y4)2207点(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_答案：0,1)8若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆C的方程是_答案：(x5)2y25三、解答题9求经过点A(1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程解：法一：设圆心坐标为(a，b)圆心在y轴上，a0.设圆的标准方程为x2(yb)2r2.该圆过A，B两点，解得所求圆的方程为x2(y1)210.法二：线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB，弦AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即y2x1.由解得点(0,1)为所求圆的圆心由两点间的距离公式，得圆的半径r，所求圆的方程为x2(y1)210.10求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x2y10相切的圆的方程解：圆心在线段AB的垂直平分线y6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(xa)2(y6)2r2.将点(1,10)代入得(1a)2(106)2r2，而r，代入，得(a1)216，解得a3，r2，或a7，r4.故所求圆为(x3)2(y6)220，或(x7)2(y6)280.
