1、考点规范练48抛物线考点规范练B册第32页基础巩固组1.已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为() A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案:B解析:由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0).2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案:B解析:抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1,得y0=-1516.3.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=
2、0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,则y12=2px1,y22=2px2,两式相减可得2p=y1-y2x1-x2(y1+y2)=kAB2=2,即可得p=1,故抛物线C的方程为y2=2x.4.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94导学号92950864答案:D解析:由已知得F34,0,故直线AB的方程为y=
3、tan 30x-34,即y=33x-34.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=33x-34,y2=3x,并整理得13x2-72x+316=0,x1+x2=212,|AB|=x1+x2+p=212+32=12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d=3413+1=38.SOAB=12|AB|d=121238=94.5.已知等边ABF的顶点F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上,且ABl,则顶点A()A.在C内部B.在C上C.在C外部D.与p值有关答案:B解析:设B-p2,m,由题意得AB中点的横坐标为p2,则A3p2,m,等边ABF的边长是2p,则|AF|=3
4、2p-p22+m2=2p,p2+m2=4p2,m=3p.A32p,3p,顶点A在抛物线上,故选B.6.(2015辽宁葫芦岛二模)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则a+b的最大值为()A.2B.1C.22D.22答案:A解析:抛物线C1:y2=4x的焦点为(1,0),即有双曲线的右焦点为(1,0),即c=1,a2+b2=1,令a=cos ,b=sin 00),则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.x2=-2y.当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x00),将其坐标代入x2=-2y,得x02=6,x0=6.水面宽|CD|=26
5、m.8.已知抛物线x2=2py(p为常数,p0)上不同两点A,B的横坐标恰好是关于x的方程x2+6x+4q=0(q为常数)的两个根,则直线AB的方程为.答案:3x+py+2q=0解析:由题意知,直线AB与x轴不垂直.设直线AB的方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得x2-2pkx-2pm=0,此方程与x2+6x+4q=0同解,则-2pk=6,-2pm=4q,解得k=-3p,m=-2qp.故直线AB的方程为y=-3px-2qp,即3x+py+2q=0.9.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),求ABF的面积.解:由M(2,2)知,线段AB所在的
6、直线的斜率存在,设过点M的直线方程为y-2=k(x-2)(k0).由y-2=k(x-2),y2=4x,消去y,得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k2-4k+4k2,x1x2=4(k-1)2k2.由题意知x1+x22=2,则4k2-4k+4k2=4,解得k=1,于是直线方程为y=x,x1x2=0.因为|AB|=1+k2|x1-x2|=42,又焦点F(1,0)到直线y=x的距离d=12,所以ABF的面积是124212=2.10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求
7、曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FAFB0),化简得y2=4x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m.由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)0,于是y1+y2=4t,y1y2=-4m.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又FAFB0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+10,因为x=y24,所以
8、不等式可变形为y124y224+y1y2-y124+y224+10,即(y1y2)216+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+10.将代入整理得m2-6m+14t2.因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式对于一切t成立等价于m2-6m+10,即3-22m3+22.由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FAFB0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x导学号92950866答
9、案:C解析:设M(x0,y0),A(0,2),MF的中点为N.由y2=2px,Fp2,0,N点的坐标为x0+p22,y02.由抛物线的定义知,x0+p2=5,x0=5-p2.y0=2p5-p2.|AN|=|MF|2=52,|AN|2=254.x0+p222+y02-22=254,即5-p2+p224+2p5-p22-22=254.2p5-p22-2=0.整理得p2-10p+16=0.解得p=2或p=8.抛物线方程为y2=4x或y2=16x.12.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)分别交于O,A,B三点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AO
10、B的面积为3,则p=()A.1B.32C.2D.3答案:B解析:双曲线的渐近线方程为y=bax,因为双曲线的离心率为2,所以1+b2a2=2,ba=3.由y=3x,y2=2px,解得x=0,y=0或x=2p3,y=23p3.由曲线的对称性及AOB的面积得,21223p32p3=3,解得p2=94,p=32p=-32舍去.故选B.13.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=.导学号92950867答案:1+2解析:由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|=p=a,Dp2,0,Fp2+b,b,将点F的坐标代入抛
11、物线的方程得b2=2pp2+b=a2+2ab,变形得ba2-2ba-1=0,解得ba=1+2或ba=1-2(舍去),所以ba=1+2.14.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=54|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.由题设得p2+8p=548p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(
12、2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-1my+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于MN
13、垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.导学号9295086815.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明
14、直线AE过定点,并求出定点坐标;ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意知Fp2,0,设D(t,0)(t0),则FD的中点为p+2t4,0.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+p2=t-p2,解得t=3+p或t=-3(舍去).由p+2t4=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1.由xD0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-y02.因为直线l1和直线AB平行,设直线
15、l1的方程为y=-y02x+b,代入抛物线方程得y2+8y0y-8by0=0,由题意=64y02+32by0=0,得b=-2y0.设E(xE,yE),则yE=-4y0,xE=4y02.当y024时,kAE=yE-y0xE-x0=-4y0+y04y02-y024=4y0y02-4,可得直线AE的方程为y-y0=4y0y02-4(x-x0),由y02=4x0,整理可得y=4y0y02-4(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当y02=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).由知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+1x
16、0+1=x0+1x0+2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=x0-1y0.设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-y02(x-x0),由于y00,可得x=-2y0y+2+x0,代入抛物线方程得y2+8y0y-8-4x0=0.所以y0+y1=-8y0,可求得y1=-y0-8y0,x1=4x0+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d=4x0+x0+4+my0+8y0-11+m2=4(x0+1)x0=4x0+1x0.则ABE的面积S=124x0+1x0x0+1x0+216,当且仅当1x0=x0,即x0=1时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16.导学号929508696
