1、章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1证明：1n1(n1)，当n2时，中间式子等于()A1B1C1 D1解析：选D.n2时中间式子的最后一项为，所以中间式子为1.2用反证法证明命题：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()Aa，b都能被3整除 Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除 Da不能被3整除解析：选B.反证法证明命题时，应假设命题的反面成立“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整
2、除3把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是()A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直C如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选D.类比A的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立类比B的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立类比C的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立类比D的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立4若a0
3、，b0，则有()A.2ba B.0，所以ex1，00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是()A综合法 B分析法C反证法 D以上都不是解析：选A.这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A.6下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0恒成立因为f(x)x3在(1，1)内可导且单调递增，所以在(1，1)内，f(x)3x20恒成立以上推理中()A大前提错误 B小前提错误C结论正确 D推理形式错误解析：选A.f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0恒成立，故大前提错误，
4、故选A.7分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证 0 Bac0 D(ab)(ac)0解析：选C.要证明 a，只需证b2ac3a2，只需证(ac)2ac3a2，只需证2a2acc20，即证(ac)(2ac)0，即证(ac)(ab)0.8若，则ABC是()A等边三角形 B有一个内角是30的直角三角形C等腰直角三角形 D有一个内角是30的等腰三角形解析：选C.因为，由正弦定理得，所以.所以sin Bcos B，sin Ccos C，所以BC45，所以ABC是等腰直角三角形9观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，则第100项为()A10 B14C13 D1
5、00解析：选B.设nN，则数字n共有n个，所以100，即n(n1)200.又因为nN，所以n13，到第13个13时共有91项，从第92项开始为14，故第100项为14.10已知abc0，则abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析：选D.因为(abc)2a2b2c22(abbcac)0，又因为a2b2c20，所以2(abbcac)0.故选D.11如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第7行第4个数(从左往右数)为()A. B.C. D.解析：选A.由“第n行有n
6、个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为.同理易知，第7行第3个数为，第7行第4个数为.故选A.12已知点A(x1，x)，B(x2，x)是函数yx2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立，运用类比方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)图象上不同的两点，则类似地有结论()A.sin B.f(n)，则m，n的大小关系为_解析：因为当0af(n)得mn.答案：mn15如图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”
7、：仿此，52的“分裂”中最大的数是_，53的“分裂”中最小的数是_解析：依题意推知：因此52的“分裂”中最大的数为9，53的“分裂”中最小的数为21.答案：92116如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；，以此类推，设BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则a7_解析：根据题意易得a12，a2，a31，所以an构成以a12，q的等比数列，所以a7a1q62.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)观察图，可以发现：13422，13593
8、2，13571642135792552，由上述具体事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述如下：对于正整数，有前2个奇数的和等于2的平方；前3个奇数的和等于3的平方；前4个奇数的和等于4的平方；前5个奇数的和等于5的平方；由此猜想：前n(nN)个奇数的和等于n的平方，即13(2n1)n2.18(本小题满分12分)已知：sin230sin290sin2150；sin25sin265sin2125，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明解：一般形式为sin2sin2(60)sin2(120).证明：左边cos 2cos(2120)cos(2240)(cos
9、 2cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 240sin 2 sin 240)右边19(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AD平面ABC，所以CC1AD.因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.因为AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1
10、C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1，因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.因为AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.20(本小题满分12分)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角解：(1).证明如下：要证，只需证0，所以只需证b2ac.因为，成等差数列，所以2，所以b2ac.又a，b，c均不相等，所以
11、b20，所以角B不可能是钝角法二：假设角B是钝角，则角B的对边为最大边，即ba，bc，所以0，0，则，这与矛盾，故假设不成立所以角B不可能是钝角21(本小题满分12分)设函数f(x)x3，x0，1证明：(1)f(x)1xx2；(2)，所以f(x).综上，f(x).22(本小题满分12分)已知函数f(n)(nN)满足条件：f(2)2，f(xy)f(x)f(y)，f(n)N，当xy时，有f(x)f(y)(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性解：(1)因为f(2)f(21)f(2)f(1)，又f(2)
12、2，所以f(1)1.又因为f(4)f(22)f(2)f(2)4，2f(2)f(3)f(4)4，且f(3)N，所以f(3)3.(2)由f(1)1，f(2)2，f(3)3，猜想f(n)n(nN)(3)用数学归纳法证明：()当n1时，f(1)1，函数解析式成立()假设nk(k1，kN)时，f(k)k成立，那么当nk1时，若k12m(mN)，则f(k1)f(2m)f(2)f(m)2mk1.若k12m1(mN)，则f(2m2)f2(m1)f(2)f(m1)2(m1)2m2，因为2mf(2m)f(2m1)f(2m2)2m2，且f(2m1)N.所以f(2m1)2m1k1，所以当nk1时，函数解析式成立综合()()可知，f(n)n(nN)成立
