1、2015-2016学年广东省肇庆四中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是一个（）A棱台B棱锥C棱柱D正八面体2若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）AlmBl与m异面Cl与m相交Dl与m没有公共点3下列说法正确的是（）A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个交点4棱长都是1的三棱锥的表面积为（）ABCD5下列说法不正确的是（）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂
2、直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直6a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：若aM，bM，则ab；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab其中正确命题的个数有（）A0个B1个C2个D3个7正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A：1B：2C2：D：38垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能9在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）ABCD10四棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为（）A6cm2B cm
3、2C cm2D3cm211将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD12某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A16B16+16C32D16+32二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13已知球O的半径为2，则球O的表面积为14一个正方体的体积为8，则它的内切球的体积为15如图所示的直观图，则其平面图形的面积为16将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知长方体ABCDABCD中，AB=2，AD=2，AA=2，求：（1）BC与AC所成的角是多少？（2）AA与BC所成的
4、角是多少？18某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积19如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F是PD中点，点E是DC边上的任意一点（）当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；（）证明：无论点E在DC边的何处，都有AFFE；（）求三棱锥BAFE的体积20如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP
5、、AD的中点，求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD21如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且ABCD，BAD=90，PA=AD=DC=2，AB=4（I）求证：BCPC；（II）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；（III）求点A到平面PBC的距离22如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为，且（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥ACBE的体积，求V（x）的表达式；（3）当V（x）取得最大值时，求二面角DABC的大小2015
6、-2016学年广东省肇庆四中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是一个（）A棱台B棱锥C棱柱D正八面体【考点】简单空间图形的三视图【专题】空间位置关系与距离【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台故选A【点评】本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化2若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）AlmBl
7、与m异面Cl与m相交Dl与m没有公共点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题【分析】由线面平行的定义可判断l与无公共点，直线m在平面内，故lm，或l与m异面【解答】解：直线l平面，由线面平行的定义知l与无公共点，又直线m在平面内，lm，或l与m异面，故选D【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答3下列说法正确的是（）A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【考点】平面的基本性质及推论【专题】常规题型【分析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平
8、面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果【解答】解：A不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确故选C【点评】本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目4棱长都是1的三棱锥的表面积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】计算题【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可
9、求得结果【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则故选A【点评】本题考查棱锥的面积，是基础题5下列说法不正确的是（）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【考点】平面的基本性质及推论【专题】证明题【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题
10、意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意故选D【点评】本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力6a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：若aM，bM，则ab；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab其中正确命题的个数有（）A0个B1个C2个D3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题【分析】对于四个命题：，由空间
11、两直线的判定定理可得；，由线面垂直的性质定理可得； ，可由线面平行的判定定理判定；，可由空间两条直线的位置关系及线 线平行的判定判断【解答】解：对于，可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况； 对于，可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确； 对于，可以翻译为：垂直于同一直线的两直线平行，在平面内成立，在空间还有相交、异面两种情况，错误； 对于，若bM，ab，若aM，则aM不成立，故错误故选B【点评】本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性
12、质定理7正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A：1B：2C2：D：3【考点】球内接多面体【专题】空间位置关系与距离【分析】根据外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出外接球半径，求出棱长和外接球的半径之比【解答】解：设正方体的棱长为1，外接球的直径为正方体的对角线长，故外接球的直径为，半径为：，所以，正方体的棱长和外接球的半径之比为1： =2：故选C【点评】本题是基础题，考查球内接多面体外接球的直径为正方体的对角线长，是解决本题的关键8垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】分类讨论【分析】根据在同一平面
13、内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断【解答】解：分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面故选D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系9在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）ABCD【考点】组合几何体的面积、体积问题【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为： =剩下
14、的凸多面体的体积是1=故选：D【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力10四棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为（）A6cm2B cm2C cm2D3cm2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】因为它的六个侧面是梯形，而上底和下底是已知的，只要利用勾股定理（斜高，棱台的高，下底边长到下底中心的距离减去上底边长到上底中心的距离）求出斜高即可求侧面积【解答】解：四棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，上底边长到上底中心的距离是cm，下底边长到下底中心的距离是1cm，那
15、么梯形的高，就是斜高： =cm，一个梯形的面积就是（1+2）=cm2，棱台的侧面积：4个面的总和S=3 cm2故选：D【点评】本题考查棱台的侧面积，考查计算能力，是基础题11将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题【分析】取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥DABC的体积【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，ADC，ABC都是等腰直角三角形，DO=B0=，BD=a，BDO也是等腰直角三角形，DOAC，DOBO，DO平面ABC，DO就是三棱锥D
16、ABC的高，SABC=a2三棱锥DABC的体积：，故选D【点评】本题考查棱锥的体积，是基础题12某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A16B16+16C32D16+32【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为： =4，故棱锥的表面积为：16+16，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状二、填空题（
17、共4题，每小题5分，共20分）13已知球O的半径为2，则球O的表面积为16【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；综合法；空间位置关系与距离【分析】利用球的面积公式，直接求解即可【解答】解：球的半径为2，所以球的表面积为：4r2=16故答案为：16【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题14一个正方体的体积为8，则它的内切球的体积为【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的体积【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则内切球的体积为故答案为：【点评】本题是基础题，考查正方体体积的应用，
18、正方体的内切球的体积为的求法，考查计算能力15如图所示的直观图，则其平面图形的面积为6【考点】平面图形的直观图【专题】计算题【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积【解答】解：设原图形为AOB，且AOB的直观图为AOB，如图OA=2，OB=3，AOB=45OA=4，OB=3，AOB=90因此，RtAOB的面积为S=6故答案为：6【点评】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题16将圆锥的侧面展开恰为一个半
19、径为2的半圆，则圆锥的体积是 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征【专题】计算题【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为： =【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知长方体ABCDABCD中，AB=2，AD=2，AA=2，求：（1）BC与AC所成的角是多少？（2）AA与BC所成的角是多少？【考点】
20、异面直线及其所成的角【专题】空间位置关系与距离【分析】长方体ABCDA1B1C1D1中，由A1C1AC，知BCA是BC和A1C1所成的角，由此能求出BC和A1C1所成的角由AA1平面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，能求出AA1和B1C1所成的角【解答】解：（1）BCBC，BCA就是BC与AC所成的角；长方体ABCDABCD中，AB=2，AD=2，AA=2，BCA=45；BC与AC所成的角是45；（2）AABBBBC就是AA与BC所成的角；长方体ABCDABCD中，AB=2，AD=2，AA=2，tanBBC=，BBC=60，AA与BC所成的角是60【点评】本题考查异面直线所成角的
21、大小的求法，关键是将空间角转为平面角解答，注意等价转化思想的合理运用18某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积【专题】计算题；作图题【分析】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH，故其正视图与侧视图全等（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果【解答】解：
22、（1）该安全标识墩侧视图如图所示（2）该安全标识墩的体积V=VPEFGH+VABCDEFGH=404060+404020=64000（cm3）【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定
23、）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台19如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F是PD中点，点E是DC边上的任意一点（）当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；（）证明：无论点E在DC边的何处，都有AFFE；（）求三棱锥BAFE的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（）
24、通过证明AF平面PCD即可解决；（）利用换底法求VFABE即可【解答】（）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC，又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC；（）证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ABCD是矩形，CDADADAP=A，CD平面PAD，又AF平面PAB，AFCD又PA=AD，点F是PD的中点，AFPD，又CDPD=D，AF平面PCDEF平面PCD，AFEF；（）解：作FGPA交AD于G，则FG平面ABCD，且，三棱锥BAFE的体积为【点评】无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线
25、的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁20如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】立体几何【分析】（1）要证直线EF平面PCD，只需证明EFPD，EF不在平面PCD中，PD平面PCD即可（2）连接BD，证明BFAD说明平面PAD平面AB
26、CD=AD，推出BF平面PAD；然后证明平面BEF平面PAD【解答】证明：（1）在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD又因为EF不在平面PCD中，PD平面PCD所以直线EF平面PCD（2）连接BD因为AB=AD，BAD=60所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD又因为BF平面EBF，所以平面BEF平面PAD【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型21如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面A
27、BCD为直角梯形，且ABCD，BAD=90，PA=AD=DC=2，AB=4（I）求证：BCPC；（II）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；（III）求点A到平面PBC的距离【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想【分析】方法1：综合法（I）要证BCPC，只要证ACBC，由勾股定理易证，根据三垂线定理，可得BCPC；（II）要求PB与平面PAC所成的角的正弦值，只要找PB在平面PAC内的射影PC，解三角形PBC即可；（III）求点A到平面PBC的距离，即找过点A的面PBC的一条垂线段即可方法2：向量法：建系，写出
28、相关点的坐标，（I）要证BCPC，只要证；（II）求PB与平面PAC所成的角的正弦值，即求与平面PAC的一个法向量夹角的余弦值的绝对值即可；（III）求点A到平面PBC的距离，即求在平面PBC的一个法向量上的投影的绝对值【解答】解：方法1（I）证明：在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AD=DC=2ADC=90，且取AB的中点E，连接CE，由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2，又，所以，则ABC为等腰直角三角形，所以ACBC，又因为PA平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC平面ABCD，由三垂线定理得，BCPC（II）由（I）可知，BCPC，BCAC
29、，PCAC=C，所以BC平面PAC，PC是PB在平面PAC内的射影，所以CPB是PB与平面PAC所成的角，又，PB2=PA2+AB2=20，即PB与平面PAC所成角的正弦为（III）由（II）可知，BC平面PAC，BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC，过A点在平面PAC内作AFPC于F，所以AF平面PBC，则AF的长即为点A到平面PBC的距离，在直角三角形PAC中，PA=2，所以即点A到平面PBC的距离为方法2AP平面ABCD，BAD=90以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系PA=AD=DC=2，AB=4B（0，4，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P
30、（0，0，2）（I），即BCPC（II）设面APC法向量=（x，y，z），设x=1，y=1=（1，1，0）=即PB与平面PAC所成角的正弦值为（III）由设面PBC法向量=（a，b，c）设a=1，c=2，b=1=（1，1，2）点A到平面PBC的距离为=点A到平面PBC的距离为【点评】考查线面垂直的判定和性质定理，直线和平面所成角及点到面的距离方法1综合法，考查逻辑推理能力，方法2向量法注重考查计算能力，这两种方法都体现了转化的思想，属中档题22如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为，且（1）证明：平面ACD
31、平面ADE；（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥ACBE的体积，求V（x）的表达式；（3）当V（x）取得最大值时，求二面角DABC的大小【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】计算题；综合题；转化思想【分析】（1）欲证平面ACD平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，DE平面ADC，DE平面ADE，满足定理所需条件；（2）根据线面所成角的定义可知EAB为AE与平面ABC所成的角，在RtABE中，求出BE，在RtABC中求出AC，最后根据三棱锥的体积公式求出体积即可；（3）利用基本不等式可知当V（x）取得最大值
32、时，这时ACB为等腰直角三角形，连接CO，DO，根据二面角的平面角的定义可知DOC为二面角DABC的平面角在RtDCO中求出此角即可【解答】解：（1）证明：四边形DCBE为平行四边形CDBE，BCDEDC平面ABC，BC平面ABCDCBCAB是圆O的直径BCAC且DCAC=CBC平面ADCDEBCDE平面ADC又DE平面ADE平面ACD平面ADE（2）DC平面ABCBE平面ABCEAB为AE与平面ABC所成的角，即EAB=在RtABE中，由，AB=2得在RtABC中（0x2）=（0x2）（3）由（2）知0x2要V（x）取得最大值，当且仅当取得最大值，当且仅当x2=4x2，即时，“=”成立，当V（x）取得最大值时，这时ACB为等腰直角三角形连接CO，DOAC=BC，DC=DCRtDCARtDCBAD=DB又O为AB的中点COAB，DOABDOC为二面角DABC的平面角在RtDCO中，DOC=60即当V（x）取得最大值时，二面角DABC为60【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及体积和二面角的定理等有关知识，求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角
