1、专题1 集合与常用逻辑用语专题1 集合与常用逻辑用语第1练 小集合，大功能题型分析高考展望集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高.在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用.同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用.常考题型精析 高考题型精练 题型一 单独命题独立考查 题型二 集合与其他知识的综合考查 题型三 与集合有关的创新问题 常考题型精析 题型一 单独命题独立考查 常用的运算性质
2、及重要结论：(1)AAA，AA，ABBA；(2)AAA，A，ABBA；(3)A(UA)，A(UA)U；(4)ABAABABB.例1(1)(2015 山东)已知集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则AB等于()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)C解析 Ax|x24x30 x|(x1)(x3)x|1x3，Bx|2x4，ABx|2x3(2,3).(2)(2014湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 若存在集合C使得AC，BUC，则可以推出AB；若AB
3、，由Venn图(如图)可知，存在AC，同时满足AC，BUC.故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充要条件.答案 C (3)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.解析 由log2x2，得0 x4，即Ax|04，即c4.4点评(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述.(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例.解析 Px|x2或x0，RPx|0 x2，(RP)Qx|1x2，故选C.变式训练1(1)(2015浙江)已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，则(RP)Q等于()A.0,
4、1)B.(0,2C.(1,2)D.1,2 C 解 Ax|x23x201,2，又Bx|0ax13x|1ax2，ABB，AB.当a0时，BR，满足题意.(2)已知集合Ax|x23x20，Bx|0ax13.若ABB，求实数a的取值范围.当 a0 时，Bx|1ax2a，AB，2a2，解得 0a1.当 a0 时，Bx|2ax1a，AB，1a2，解得12a0.综上，实数 a 的取值范围为12，1.题型二 集合与其他知识的综合考查 集合常与不等式、向量、解析几何等知识综合考查.集合运算的常用方法：(1)若已知集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知集合是抽象集合
5、，用Venn图求解.例2(2014安徽)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足(ab).曲线CP|acos bsin，02，区域P|0rR，rR.若C为两段分离的曲线，则()A.1rR3B.1r3R C.r1R3D.1r3R OQ 2OP|PQ|解析|a|b|1，ab0，又OQ 2(ab)，|OQ|22(ab)22(a2b22ab)4，点Q在以原点为圆心，半径为2的圆上.又OP acos bsin，|OP|2a2cos2b2sin2cos2sin21.曲线C为单位圆.又P|0r|PQ|R，rR，要使C 为两段分离的曲线，如图，可知 1rR3，其中图中两段分离的
6、曲线是指 与 .故选 A.ABCD答案 A 点评 以集合为载体的问题，一定要弄清集合中的元素是什么，范围如何.对于点集，一般利用数形结合，画出图形，更便于直观形象地展示集合之间的关系，使复杂问题简单化.变式训练2(2014天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n.(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；解 当q2，n3时，M0,1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1,2,3，可得，A0,1,2,3,4,5,6,7.(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2
7、，n.证明：若anbn，则st.证明 由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1,2，n及anbn，可得 st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1 q11qn11qqn110.所以st.题型三 与集合有关的创新问题 与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的深层次理解.在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等.例3(2015湖北)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x
8、1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30 解析 如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.答案 C 点评 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体
9、的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.变式训练3 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成 一 个“类”，记 为 k，即 k 5n k|nZ，k 0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2 0161；33；Z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”.其中，正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4 解析 对于：2 01654031，2 0161，故正确；对于：35(1)2，32，故不正确；对于：整数集Z被5除，所得余数共分为五类.Z01234，故正
10、确；对于：若整数a，b属于同一类，则 a5n1k，b5n2k，ab5n1k(5n2k)5(n1n2)5n，ab0，若ab0，则ab5n，即ab5n，故a与b被5除的余数为同一个数，a与b属于同一类，所以“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”，故正确，正确结论的个数是3.答案 C 高考题型精练 1.(2015 天 津)已 知 全 集 U 1,2,3,4,5,6,7,8，集 合 A 2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A(UB)等于()A.2,5B.3,6 C.2,5,6D.2,3,5,6,8 A解析 由题意知，UB2,5,8，则A(UB)2,5，选A.123456789101
11、1122.(2014安徽)“x0”是“ln(x1)0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 B高考题型精练 解析 ln(x1)0，0 x11，1x0.x0是1x0的必要不充分条件，故选B.1234567891011123.(2015陕西)设集合Mx|x2x，Nx|lg x0，则MN等于()A.0,1B.(0,1 C.0,1)D.(，1 A高考题型精练 解析 由题意得M0,1，N(0,1，故MN0,1，故选A.1234567891011124.(2014 山 东)设 集 合 A x|x 1|2，B y|y 2x，x0,2，则AB等于()A.0,2B
12、.(1,3)C.1,3)D.(1,4)C高考题型精练 解析 由|x1|2，解得1x1时，A(，1a，)，1a1，解得1a2；123456789101112高考题型精练 当a1时，A(，a1，)，aa1，a0的解集是集合x|2x2的子集，则实数a的取值范围是()A.2a2B.1a1 C.2a1D.1a2 x2y高考题型精练 123456789101112所以xa1ax0，高考题型精练 解析 因为(xa)(x1a)0，即axa1，则a2且a12，即2a1.答案 C 1234567891011129.已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是()A.(0,1B.1
13、，)C.(0,1)D.(1，)高考题型精练 解析 Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，123456789101112高考题型精练 Bx|x2cx0(0，c)，因为AB，画出数轴，如图所示，得c1.应选B.答案 B12345678910111210.已知a，b均为实数，设集合Ax|axa，Bx|b xb，且A、B都是集合x|0 x1的子集.如果把nm叫做集合x|mxn的“长度”，那么集合AB的“长度”的最小值是_.4513解析 a0，a451，高考题型精练 1234567891011120a15，b130，b1，13b1，利用数轴分类讨论可得集合AB的“长度”的最小值为1315 215
14、.答案 215高考题型精练 12345678910111211.对任意两个集合M、N，定义：MNx|xM，且xN，M*N(MN)(NM)，设My|yx2，xR，Ny|y3sin x，xR，则M*N_.高考题型精练 解析 My|yx2，xRy|y0，Ny|y3sin x，xRy|3y3，MNy|y3，NMy|3y3y|3y3或3y3或3y2，即a3.123456789101112(2)若命题pq为真命题，求实数a的取值范围.方法一 f11a40，f242a40，解得 a0.高考题型精练 解 命题p为真，则a3.命题q为真，即转化为当x1,2时，f(x)x2ax40恒成立，123456789101112方法二 当 x1,2时，ax4x恒成立，而 x4x在1,2上单调递增，故 ax4x max0.故实数a的取值范围是0,3.高考题型精练 123456789101112
