1、第34课复数【自主学习】第34课 复数(本课时对应学生用书第9192页)自主学习回归教材1. (选修2-2P110练习1改编)复数=.【答案】-1【解析】=-1.2. (选修2-2P105习题2改编)已知复数z=(m2+m)+(m2-2m-3)i(mR)是一个纯虚数，那么m=.【答案】0【解析】由解得m=0.3. (选修2-2P108练习5改编)在复平面内，若复数z满足(z-2)i=4+i，则复数z的模为.【答案】5【解析】由(z-2)i=4+i，得zi=4+3i，所以z=3-4i，所以复数z的模为5.4. (选修2-2P109练习1改编)复数z=在复平面内对应的点所在的象限为第象限.【答案】
2、四【解析】z=-i.5. (选修2-2P110习题1改编)设复数z满足z(2+3i)=6-4i，则z的模为.【答案】2【解析】由题知|z|2+3i|=|6-4i|，所以|z|=，所以|z|=2.1. 复数的概念形如z=a+bi(a，bR)的数叫作复数，其中a称为实部，b称为虚部.当b0时，z为虚数，当a=0且b0时，z为纯虚数.2. 两个复数相等的充要条件a+bi=c+di(a，b，c，dR)a=c且b=d.3. 复数的四则运算设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR).(1)复数的加减法：z1z2=(ac)+(bd)i.(2)复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-
3、bd)+(ad+bc)i.(3)复数的除法：若z20，则z1z2=+i.4. 复数模的几何意义(1)z=a+bi点Z(a，b)向量；(2)|z|=|.【要点导学】要点导学各个击破复数的概念及四则运算法则例1实数m分别取什么值时，复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是：(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【思维引导】复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.【解答】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.由mR，可知z的实部为m2+5m+6，虚部为m2-2m-15.
4、(1)要使z为实数，则必有所以m=5或m=-3.(2)要使z为虚数，必有m2-2m-150，所以m5且m-3.(3)要使z为纯虚数，必有即所以m=-2.【精要点评】按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a，bR)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.变式(1)(2016苏北四市期中)若复数z=(1-i)(m+2i)是纯虚数，则实数m的值为.(2)(2015盐城三模)若复数z=(x+i)(1+i)是纯虚数，其中x为实数，则z的共轭复数=.(1)【答案】-2【解析】因为z=(1-i)
5、(m+2i)=(m+2)+(2-m)i是纯虚数，所以m+2=0，2-m0，所以m=-2.(2)【答案】-2i【解析】因为z=(x+i)(1+i)=x-1+(x+1)i是纯虚数，所以x=1，故z=2i，从而=-2i.例2(2015江苏卷)若复数z满足z2=3+4i，则z的模为.【答案】【解析】|z2|=|3+4i|=5|z|2=5|z|=.变式(1)(2015苏州期末)已知=a+bi(a，bR)，那么a+b=.(2)(2015南京二模)已知复数z=(2-i)(1+3i)，则复数z在复平面上对应的点位于第象限.(1)【答案】1【解析】方法一：因为=3-2i，所以a=3，b=-2，所以a+b=1.方
6、法二：由已知得2+3i=(a+bi)i=ai-b=-b+ai，所以a=3，b=-2，所以a+b=1.(2)【答案】一【解析】因为z=(2-i)(1+3i)=5+5i，所以它对应的点在第一象限.复数的几何意义例3设zC，若z2为纯虚数，求z在复平面上对应的点的轨迹方程.【思维引导】因为z2为纯虚数，所以z2的实部为0，且虚部不为0.【解答】设z=x+yi(x，yR)，则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.因为z2为纯虚数，所以所以y=x(x0).【精要点评】要求z在复平面上对应的点的轨迹方程，即求z的实部和虚部满足的关系式.变式(1)求满足|z-1|=2的复数z对应的点的轨迹.(2)求满
7、足等式|z-i|+|z+i|=3的复数z对应的点的轨迹.【解答】(1)复数z对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心、2为半径的圆.(2)因为|z-i|+|z+i|=3，故由复数模的几何意义得z对应的点到定点(0，1)和(0，-1)的距离之和为3，满足椭圆的定义，所以复数z对应的点的轨迹为椭圆.1. (2015扬州期末)复数的实部为.【答案】-【解析】因为=-i，所以的实部为-.2. (2015苏北四市期末)若复数z满足i(z-4)=3+2i，则z的虚部为.【答案】-3【解析】由于复数z满足i(z-4)=3+2i，所以z-4=-(3+2i)i=2-3i，从而z=6-3i，即z的虚部为-3.3. (2
8、015南京三模)已知复数z=-1，则z的模为.【答案】【解析】因为z=-1=，所以|z|=.4. (2015苏州、无锡、常州、镇江、宿迁一调)若复数+m为纯虚数，则实数m=.【答案】-1【解析】因为+m=+m=1+m+2i为纯虚数，所以1+m=0，解得m=-1.5. 若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3-i)=z2(1+3i)，|z1|=，则z1=.【答案】1-i或-1+i【解析】设z1=a+bi，则z2=-a+bi，因为z1(3-i)=z2(1+3i)，且|z1|=，所以解得或所以z1=1-i或z1=-1+i.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的
9、练习第6768页.【检测与评估】第34课复数一、 填空题 1(2014重庆卷)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于第象限. 2(2015镇江期末)记复数z=a+bi的共轭复数为=a-bi(a，bR)，已知z=2+i，则=. 3(2015南通期末)已知复数z满足(3+4i)z=1，则z的模为. 4(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)已知复数z=(1+i)(1-2i)，则z的实部为. 5(2015泰州二模)若复数(a-2)+i是纯虚数，则实数a=. 6(2015苏州调查)若复数z1=a+2i，z2=1-i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为. 7(2015苏州、无锡、常州、镇江二模)设1+2i
10、=2i(a+bi)(a，bR)，则a+b的值为. 8已知复数z=2+sin +sin i，0，2)，那么|z|的取值范围是.二、 解答题 9已知复数z=+(a2-5a-6)i(aR)，试求实数a的取值，使得z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.10求一个复数z，使z-为纯虚数，且|z-3|=411已知复数z1=i(1-i)3(1)求|z1|；(2)若|z|=1，求|z-z1|的最大值.三、 选做题12(2015常州期末)已知复数z=(m0)，若z=，则实数m的值为.13计算：1+i+i2+i2 017=.【检测与评估答案】第34课复数1 一【解析】i(1-2i)=2+i，其在复平面内
11、对应的点为(2，1)，位于第一象限. 23-4i【解析】因为z=2+i，故z2=3+4i，所以=3-4i.3【解析】因为(3+4i)z=1，所以|3+4i|z|=1又|3+4i|=5，所以|z|=.43【解析】因为z=(1+i)(1-2i)=3-i，所以z的实部为352【解析】根据纯虚数的定义有a-2=0，所以a=26-2【解析】因为z1z2=(a+2i)(1-i)=(a+2)-(a-2)i为纯虚数，所以a+2=0，且a-20，所以a=-27 【解析】因为1+2i=2i(a+bi)=-2b+2ai，所以2a=2，-2b=1，即a+b=.8 ，2【解析】由复数模的定义得|z|=，所以|z|，2.
12、9 (1)当z为实数时，解得a=6所以当a=6时，z为实数.(2)当z为虚数时，解得a-1且a6所以当a-1且a6时，z为虚数.(3)当z为纯虚数时，解得a=1所以当a=1时，z为纯虚数.10 设z=a+bi(a，bR)，则z-=a+bi-=+i为纯虚数，所以所以或又|z-3|2=(a-3)2+b2=16当a=0时，b=；当a2+b2=25时，所以z=i或z=34i.11 (1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i)，所以|z1|=2.(2)因为|z|=1可以看作以(0，0)为圆心、1为半径的圆，而z1可以看成在坐标系中的点(2，-2)，所以|z-z1|的最大值可以看成点(2，-2)到圆O上的点的最大距离，如图，由图可知|z-z1|max=2+1(第11题)12【解析】因为z=+i，且z=，所以3-m2=0，解得m=.又因为m0，所以m=.131+i【解析】因为in+in+1+in+2+in+3=0，n=4k，kN*，所以原式=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+i2 017=1+i2 017=1+i.
