1、2.4幂函数及三类不等式的解法(绝对值、高次、无理)必备知识预案自诊知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义:一般地,函数叫做幂函数,其中x是,是.(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性公共点(1,1)2.分式不等式的解法(1)f(x)g(x)0(0(0)且g(x)0.(2)f(x)g(x)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|a(-,-a)(a,+)(-,0)(0,+)R(2)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x
2、)2.(3)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x).(4)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.4.无理不等式的解法(1)f(x)g(x)g(x)0,f(x)g(x).(2)f(x)g(x)g(x)0,f(x)g2(x)或f(x)0,g(x)0.(3)f(x)g(x)f(x)0,g(x)0,f(x)0时,在第一象限内,函数单调递增.()(3)幂函数y=x,当bcB.abcC.bcaD.acb3.不等式3x2x+11的解集为()
3、A.(-,1B.-12,1C.-12,1D.-,-121,+)4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)0,否则0;若0,再观察第一象限的图象是上凸还是下凸,上凸时01;最后由x1时,在第一象限内的值按逆时针方向依次增大得出结论.对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应的是()A.y=x13;y=x2;y=x12;y=x-1B.y=x3;y=x2;y=x12;y=x-1C.y=x2;y=x3;y=x12;y=x-1D.y=x13;y=x12;y=x2;y=x-1(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是()
4、A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数考点幂函数的性质及应用【例3】(1)若(a+1)120时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增;(2)当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.对点训练3(1)已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)f(10-2a),则a的取值范
5、围是.(2)已知a=243,b=323,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab考点绝对值不等式的解法【例4】解下列不等式:(1)|x2+x|3x;(2)|x-1|+|x+2|5;(3)|2x-1|-|x-2|x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(-4,-1)(1,4)D.(-,-4)(1,+)(2)不等式|x+3|2-x|的解集是.(3)设xR,不等式|x|+|2x-1|2的解集为.考点一元高次不等式的解法【例5】(1)解不等式(x-2)2(x-3)3(x+1)a-x(a0).类型1函数模型f(x)=ax+bx(ab0)的图象与性质1.当a0,b0时,函数
6、f(x)=ax+bx的性质(1)定义域为(-,0)(0,+),值域为R.(2)奇函数.(3)函数在(-,0),(0,+)上单调递增,无最值.2.当a0时,函数f(x)=ax+bx的性质(1)定义域为(-,0)(0,+),值域为R.(2)奇函数.(3)函数在(-,0),(0,+)上单调递减,无最值.3.当a0,b0时,函数f(x)=ax+bx(常称作对勾函数)的图象与性质(1)定义域:(-,0)(0,+).(2)值域:(-,-2ab2ab,+).分析:当x0时,ax+bx2ab当且仅当ax=bx,即x=ba时,等号成立;当x0,得xba;由f(x)0,得-bax0或0xba.(5)图象:对勾函数
7、就是以y轴和直线y=ax为渐近线的双曲线.(6)渐近线:y轴和直线y=ax.类型2函数模型f(x)=ax+bx(ab0)的应用【例1】函数y=log2x+4log2x(x2,4)的最大值为.答案5解析设t=log2x,则t1,2,即求函数y=t+4t在1,2上的最大值.函数为对勾函数,在(0,2)上单调递减,所以当t=1时,函数取到最大值,即ymax=1+41=5.评析本例是求函数y=t+4t在t1,2上的最大值,不能用基本不等式来求,只能借助对勾函数的单调性来求.跟踪训练1已知函数f(x)=2x,且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2ag(x)+h
8、(2x)0对任意x1,2恒成立,求实数a的取值范围.【例2】某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?解设矩形温室的左侧边长为xm,则后侧边长为800xm,所以蔬菜种植面积y=(x-4)800x-2=808-2x+1600x(4x400).因为x+1600x2x1600x=80,当且仅当x=1600x,即x=40时,等号成立,所以y808-280=648.此时ymax=648.即当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜
9、的种植面积最大,最大面积是648m2.评析1.解决实际问题时,一般可以直接建立f(x)=ax+bx的模型,有时也可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+bx的形式.2.利用模型f(x)=ax+bx求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.跟踪训练2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=k3x+5(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年
10、的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)求当隔热层建造为多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.2.4幂函数及三类不等式的解法(绝对值、高次、无理)必备知识预案自诊知识梳理1.(1)y=x自变量常数(3)RRR0,+)x|xR,且x0R0,+)R0,+)y|yR,且y0单调递增当x0,+)时,单调递增;当x(-,0)时,单调递减单调递增单调递增当x(0,+)时,单调递减;当x(-,0)时,单调递减3.(1)(-a,a)考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.D根据幂函数的性质,可知选D.3.C由题可知3x2x+1-10,即3x-2x-12x+10,即(x-1)(2
11、x+1)0,2x+10,解得-120,解得m=1.故选B.对点训练1(1)B(2)C(1)显然,根据幂函数定义可知,只有y=1x2=x-2是幂函数.故选B.(2)由题意得12=2,=-1.f(x)=x-1=1x0,f(x)的值域为(-,0)(0,+).故选C.例2(1)C(2)B(1)令f(x)=x,则4=2,=12,f(x)=x12.所以其图象为选项C.(2)由于f(x)为幂函数,且在(0,+)上单调递减,所以n2+2n-2=1,n2-3ncb(1)易知函数y=x12的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以a+10,3-2a0,a+13-2a,解得-1ac.y=25x(xR)为减函数,c
12、b.acb.对点训练3(1)(3,5)(2)A(1)f(x)=x-12=1x(x0)为减函数,又f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,解得a-1,a3,3a5.(2)因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=x23在0,+)上单调递增,所以323423523,即ba1时,不等式变为x-1+x+25,解得x2,1x2;当-2x1时,不等式变为1-x+x+25,即35,当-2x1时不等式均成立;当x-2时,不等式变为1-x-x-2-3,-3x-2.综上,不等式的解集为(-3,2).(3)由|2x-1|-|x-2|0,得|2x-1|x-2|,(2x-1)2(x-2
13、)2,3x23,解得-1x1.不等式的解集为(-1,1).对点训练4(1)A(2)-12,+(3)xx1(1)由|3x-4|x2可得3x-4x2或3x-4x2得无解;解3x-4-x2得-4x|2-x|得(x+3)2(2-x)2,整理得10x-5,即x-12,故原不等式的解集为-12,+.(3)当x2,解得x2,即x12时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1.综上,原不等式的解集为xx1.例5解(1)检查各因式中x的符号均正;求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根);在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始,如图),原不等式的解集为x|-1x2或2xa-x等价
14、于a-x0,2ax-a2(a-x)2或2ax-a20,a-x0,即xa,(2-2)axa,解得(2-2)aa.所以原不等式的解集是(2-2)a,a(a,+),即(2-2)a,+).案例探究(三)f(x)=ax+bx(ab0)型函数的性质及应用跟踪训练1解由题意得f(x)=g(x)+h(x)=2x,f(-x)=g(-x)+h(-x)=2-x,解得g(x)=2x-2-x2,h(x)=2x+2-x2.2ag(x)+h(2x)0对任意x1,2恒成立,即(2x-2-x)a+22x+2-2x20对任意x1,2恒成立.令t=2x-2-x,则t32,154,所以a-22x+2-2x2(2x-2-x)=-(2x-2-x)2+22(2x-2-x)=-12t+2t.因为t+2t在t32,154上单调递增,所以当t=32时,-12t+2t有最大值-1712.所以实数a的取值范围为-1712,+.跟踪训练2解(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40.因此f(x)=6x+20C(x)=6x+8003x+5(0x10).(2)f(x)=6x+10+8003x+5-102(6x+10)8003x+5-10=70,当且仅当6x+10=8003x+5,即x=5时,等号成立.所以当隔热层厚度为5cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元.
