1、第二节 平面向量的坐标运算【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)平面向量基本定理:基底:平面内_的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底.定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任意向量a,存在唯一一对实数 1,2,使a=_.不共线 1e1+2e2(2)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作 =a,由 平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得 =xi+yj,因此 a=xi+yj,我们把实数对_叫作向量a的坐标,记作a=_.OP
2、OP(x,y)(x,y)(3)平面向量的坐标运算:向量的加法、减法设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=_,a-b=_向量的数乘设a=(x,y),R,则 a=_向量坐标的 求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =_(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x,y)AB(x2-x1,y2-y1)(4)向量共线的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab_=0,特别地,若x2,y20,则ab 定理1:若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标_.定理2:若两个向量相对应的坐标_,则它们平行.
3、1122xy.xyx1y2-x2y1 成比例 成比例 2.必备结论 教材提炼 记一记 若 是平面内不共线的向量,则存在实数 1,2使 则当 1+2=1时,A,B,C三点共线.特别地,当 1=2=时,C是 A与B的中点.3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:待定系数法.(2)数学思想:数形结合思想,函数与方程思想.OA OB，1OCOA 2OB，12【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()(2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底.()(3)向量 与 的夹角为ABC.()(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的.()B
4、CAB【解析】(1)正确.由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移,其坐标 均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.(2)正确.由基底的定义可知,只要两向量不共线均可作为一组基底.(3)错误.两向量的夹角,关键要看起点与方向,与 的夹角应为 ABC的补角.(4)正确.由平面向量基本定理可知存在唯一实数对,使a=e1+e2 故其表现形式唯一.答案:(1)(2)(3)(4)BCAB2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修4P90T6(1)改编)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,),若A,B,C三点共线,则=.【解析】由已知得 =(2,4),=(1,-3).若A,B,C三点共线,则2(-
5、3)-14=0,即2=10,得=5.答案:5 BCAB(2)(必修4P90B组T1改编)设P是线段P1P2上的一点,若P1(2,3),P2(4,7)且P是P1P2的一个四等分点,则P的坐标为 .【解析】由题意可知,P是P1P2的一个四等分点有三种情况:即 =或 =3 或 =,1P P2PP131P P2PP1P P2PP设P(x，y)，则 =(x-2，y-3)，=(4-x，7-y)，若 =，则(x-2，y-3)=(4-x，7-y)，即 得 2PP1P P1P P2PP13133x64x,3y97y,5x2y4.，若 =3 ,则(x-2,y-3)=3(4-x,7-y),即 得 2PP1P Px2
6、123x,y321 3y,7x,2y6.若 =,则(x-2,y-3)=(4-x,7-y),即 得 答案:或 或(3,5)2PP1P Px24x,y37y,x3,y5.5(,4)27(,6)23.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2015上饶模拟)已知向量 =(3,7),=(-2,3),则=()【解析】选C.因为向量 =(3，7)，=(-2，3)，故=（1，10），则-AC=ABBC1 AC211A.(,5)B.(,5)2211C.(,5)D.(,5)22ACABBC121(,5).2ABBC(2)(2014福建高考)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),
7、e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)【解析】选B.只有B选项两个向量不共线,其他选项的向量都是共线的,不共线的向量方可成为基底,才可以表示向量a.(3)(2015南昌模拟)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若 a-2b与c共线,则k=.【解析】因为a=(,1),b=(0,-1),所以a-2b=(,1)-2(0,-1)=(,3),又c=(k,),所以 -3k=0,解得k=1.答案:1 33333333考点1 平面向量基本定理及其应用【典例1】(1)(2013广东高考)设a是
8、已知的平面向量且a0,关于向 量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;给定向量b和c,总存在实数 和,使a=b+c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c;给定正数 和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+c.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2015泉州模拟)在ABC中,点P是AB上一点,且 Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又 试求t的值.21CPCACB,33CMtCP,【解题提示】(1)利用平面向量基本定理来逐一判断.(2)首先利用条件确定P点的位置,再利
9、用平面向量基本定理确定基底,从而联立方程得t.【规范解答】(1)选B.对于 因为a与b给定,所以a-b一定存在,可表示为c,即c=a-b,故a=b+c成立,正确;对于,因为b与c不共线,由平面向量基本定理可知正确;对于,以a的终点为圆心,以为半径作圆,这个圆必须和向量b有交点,这个不一定满足,故错误;对于,由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即必有|b|+|c|=+|a|,而给定的和不一定满足此条件,所以是假命题.(2)因为 所以 即 所以 即P为AB的一个三等分点(靠近A点),21CPCACB33，3CP2CACB，2CP2CACBCP，2APPB.又因为A,M,Q三点共线,
10、设 所以=又=故 解得 故t的值是 .AMAQ.11CMAMACAQAC(ABAC)AC22 2ABAC,22 1CMtCPt APACt(ABAC)3t ABtAC.3t,232t2 ，3t,41.2 34【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错(1)对于中判断易直接利用平面向量基本定理而不会变换为c=a-b去判断从而误解.(2)对于判断时易忽视向量加法的几何意义,及平面向量基本定理的理解而误解.【互动探究】题(2)中若条件和所求不变,再附加一问:M在AQ的什么位置?如何求解.【解析】由(2)的解析 及=,知,因此点M是AQ的中点.2CMABAC22 12CB2CQ12CMCBCACA22
11、CB(1)CA2CQCACQ(1)CA.2 【规律方法】应用平面向量基本定理的关键点(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.(2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.(3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.【变式训练】如图,已知OCB中,A是CB的中点,D是将 分成21 的一个内分点,DC和OA交于点E,设 =a,=b.(1)用a和b表示向量 ,.(2)若 =,求实数 的值.OBOAOBOCDCOEOA【解析】(
12、1)由题意知,A是BC的中点,且 由平行四边形法 则,得 所以 =2a-b,=(2a-b)-b=2a-b.2ODOB3，OBOC2OA，OC2OAOBDCOCOD2353(2)由题意知,故设 因为 =(2a-b)-a=(2-)a-b,=2a-b,所以(2-)a-b=x(2a-b).ECDC，ECxDC.ECOCOEDC5353因为a与b不共线,由平面向量基本定理,得 解得 故=.22x,51x,3 3x,54.5 45【加固训练】1.(2014临沂模拟)若a与b不共线,已知下列各组向量 a与-2b;a+b与a-b;a+b与a+2b;a-b与 a-b.其中可以作为基底的是 (只填序号即可).12
13、1412【解析】因为a与b不共线,所以,对于,显然a与-2b不共线;对于,假设a+b与a-b共线,则存在实数,使a+b=(a-b),则=1且-=1,由此得=1且=-1矛盾,故假设不成立,即a+b与a-b不共线;同理,对 于,a+b与a+2b也不共线;对于,a-b=(a-b),故a-b与 a-b共线.由基向量的定义知,都可以作为基底,不可以.答案:121412121212142.(2015武汉模拟)如图所示,已知 =a,=b,=c,以a,b为基底试表示c.【解析】由 得 即 即c=b-a.AB2BC，OAOBOCAB2BC，AOOB2 BOOC，2OCOA3OB，1232考点2 平面向量的坐标运
14、算【典例2】(1)(2015临沂模拟)在ABC中,点P在BC上,且 =2 ,点Q是AC的中点,若 =(4,3),=(1,5),则 等于()A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)BPPCPAPQBC(2)(2013北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若 c=a+b(,R),则 =.【解题提示】(1)利用已知求得 的坐标即可求 的坐标.(2)结合图形建立适当的平面直角坐标系,利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解.PCBC【规范解答】(1)选A.如图,=(1,5)-(4,3)=(-3,2),=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),=3
15、 =(-6,21).QCAQPQPAPCPQQCBCPC(2)以向量a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴正方向,正方形网 格的边长为单位长度建立直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),根据c=a+b得(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),即 解得=-2,=-,所以 =4.答案:4 61,23,12【互动探究】在本例(2)中,试用a,c表示b.【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),设b=xa+yc,则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3),即 解得 故b=-4a-2c.xy6,x3y2,
16、x4,y2,【规律方法】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.【变式训练】(2015西安模拟)已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且ab,则3a+2b=()A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)【解析】选B.因为ab,所以m+4=0,所以m=-4,所以b=(2,-4),所以3a+2b=(7,-14).【加固训练】1.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),
17、给出下面的结论:直线OC与直线BA平行;其中正确结论的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ABBCCA;OAOCOB;ACOB2OA.【解析】选C.由题意得 =(-2,1),=(2,-1),故 ,又 无公共点,故OCBA,正确;因为 故错误;因为 =(0,2)=,故正确;因为 -2 =(-4,0),=(-4,0),故正确.所以选C.OCBAOCBAABBCAC，OAOCOBOBOAACOC BA，2.已知点A(-1,2),B(2,8)以及 求点C,D的坐 标和 的坐标.【解析】设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),得 =(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-
18、1-x2,2-y2),=(-3,-6).11ACAB DABA33，ABBADAACCD因为 所以有 和 解得 和 所以点C,D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而 =(-2,-4).11ACAB DABA33，11x11,y22 221x1,2y2.11x0,y422x2,y0,CD考点3 平面向量共线的坐标表示及运算 知考情 以平面向量的共线为载体考查三角函数问题及利用平面向量共线的坐标运算求参数的范围,是高考考查的一个重要考向,常以选择题、填空题的形式出现.明角度 命题角度1:利用向量共线的坐标运算求三角函数的值或角【典例3】(2014陕西高考)设0 ,向量a=(sin2,cos)
19、,b=(cos,1),若ab,则tan=.【解题提示】根据向量平行的坐标表示及三角函数化简即可得解.2【解析】由ab得sin2-cos2=0,即2sincos=cos2,又 0 ,cos0,所以2sin=cos可得tan=.答案:21212命题角度2:利用向量共线的坐标运算求参数的值【典例4】(2013陕西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则 实数m等于()A.-B.C.-或 D.0【解题提示】利用平面向量共线的坐标表示列方程求解.【规范解答】选C.因为a=(1,m),b=(m,2),ab,所以12-m2=0,即 m2=2,故m=.22222悟技法 1.根据向量共线的坐标运
20、算求参数的值的一般思路 利用向量共线转化为含参数的方程,解方程可求参数.2.利用向量共线的坐标运算解三角形的一般思路 利用向量共线的坐标运算转化为三角方程,再利用三角恒等变换求解.通一类 1.(2015鹰潭模拟)若平面内两个向量a=(2cos,1)与b=(1,cos)共线,则cos2 等于()A.B.1 C.-1 D.0【解析】选D.由向量a=(2cos,1)与b=(1,cos)共线知:2coscos-11=0,所以2cos2-1=0,所以cos2=0,故选D.122.(2015攀枝花模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 为 实数,(a+b)c,则=()A.B.C.
21、1 D.2【解析】选B.因为a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),c=(3,4),又(a+b)c,所以4(1+)-23=0.解得=.1214123.(2015郑州模拟)已知向量 =(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A.-B.C.D.【解析】选A.=(4-k,-7),=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以 共线,所以-2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.OAOBOC12132343ABOBOAACOCOAAB AC，23创新体验3 以向量坐标运算为载体的创新问题【创新点拨】高考考情:以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高
22、考命题的一个热点,综合考查向量与函数等知识综合问题,考查学生的应变能力与创新能力.【新题快递】1.(2015重庆模拟)在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A,B,C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数,使得 =+(1-)成立,此时称实数 为“向量 关于 和 的终 点共线分解系数”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向 量 与向量a=(1,-1)共线,则“向量 关于 和 的终点共 线分解系数”为()A.-3 B.3 C.1 D.-1 OAOBOCOCOAOB3OP3OP1OP2OP【解析】选D.由 与向量a=(1,-1)共线,可设 =(t,-t)(t0)
23、,由 =+(1-)得(t,-t)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2),所以 两式相加得2+2=0,所以=-1.3OP3OP3OP1OP2OP41t,32t,2.(2015杭州模拟)将一圆的六个等分点分成两组 相间的三点,它们所构成的两个正三角形扣除内部六 条线段后可以形成一正六角星,如图所示的正六角星 是以原点O为中心,其中x,y分别为原点O到两个顶点 的向量,若将原点O到正六角星12个顶点的向量,都写成ax+by的形式,则a+b的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.欲求a+b的最大值,只需考虑图中6个顶点的向量即可,讨论如下:(1)因为 =x,所以(a,
24、b)=(1,0);(2)因为 =y+3x,所以(a,b)=(3,1);OAOBOFFB(3)因为 =y+2x,所以(a,b)=(2,1);(4)因为 =y+x+=y+x+(y+2x)=2y+3x,所以(a,b)=(3,2);(5)因为 =y+x,所以(a,b)=(1,1);(6)因为 =y,所以(a,b)=(0,1).所以a+b的最大值为3+2=5.OCOFFCODOFFEEDOCOEOFFEOF3.(2013北京高考)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由 所有满足 (1 2,0 1)的点P组成,则D的面 积为 .APABAC【解析】设P(x,y),则(x-1,y+1)=(2,1)+(1,2),所以 解得 所以 即 在平面直角坐标系中作出区域D,可求得面积为3.答案:3 x12,y 12,21xy 13312xy133 ，211xy 1233120 xy11,33 ，32xy36,0 x2y33.【备考指导】1.准确转化:解决向量创新问题,一定要读懂题目的本质含义,紧抓题目所给条件进行恰当地转化.2.方法选取:对向量的创新问题,转化准确后,要观察题目特点,合理选取解题的办法,如函数的最值求法,线性规划的可行域,新型概念的融合等.
