1、22平面向量的线性运算导学案【学习目标】1.掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2.会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； www#.zzste&p.co*m3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；4掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；来源:zzstep.*%&#com5理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；6通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、
2、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.【导入新课】设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置A B C2、 情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，C A B则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，A BC则两次的位移和：（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，A BC则两次的位移和：www.z#z&st*（4）船速为，水速为，则两速度和：www.zzst%e*新授课阶段来源:%中教*&网一
3、、向量的加法.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法则（“首尾相接，首尾连”）来*源:zzstep.&com如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a，规定：a + 0-= 0 + a. 中国教&%育*出版网ABCa+ba+baabbaa来源:学科网探究：（1）两个向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|，则+的方向与相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加例1 已知向量、，求作向量+.作法：
4、中国#教&%育出版*网中国#教育%出版网加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）,）向量加法的交换律：+=+来源:&中教网*向量加法的结合律：(+) +=+ (+),证：如图：使， ， ,则(+) +=，+ (+) =(+) +=+ (+).从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.二、 向量的减法1 用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a.（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.www.z#zste&*
5、p%.com任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0.如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0.（3） 向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差.即：a - b = a + (-b),求两个向量差的运算叫做向量的减法.2 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：OabBaba-b若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b. 3求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b. 来源:中国教育出版%网*#(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a，作法：在平面内取一
6、点O，来源:作= a， = b,则= a - b，即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数,2用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b).OABaBb-bbBa+ (-b)ab显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.来%&源#:中教网来源:zz&step%.com#www.z#zste&p*.com4 探究：） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b - a.a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b）若ab， 如何作出a - b？例2 已知向量a、b、c、d，求
7、作向量a-b、c-d.解： 来源#:*中国教%育出&版网A B D C例3 平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.解： 来源:zzs%t&#来源:zzs*te%变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ 变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？ 变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？ 三、向量数乘运算1.定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）中国教育出%&版#网*可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行.实数与向量的积是一个向量，记作. 它
8、的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.中国教*育出&版网#2.运算律：问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）www.z&zstep.c*o#m生：，.师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律.3.向量平行的充要条件：请同学们观察，回答、有何关系？生：因为，所以、是平行向量.引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？生：可以！因为、平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充
9、要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）接下来看、方向如何：、同向，则，若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.例4 如图：已知，试判断与是否平行解： 中国%教育&出版网4）单位向量：单位向量：模为1的向量.向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.思考：如何用来表示？ （）例5 已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解： www.zzs&t#%ww&w.z*zstep.co#m例6 在平行四边形ABC
10、D中，分别是的中点，为与的交点，若，试以，表示、解： 课堂小结（1）与的积还是向量，与是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路.该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.来%源:中教网#*作业P88-89习题3 A组 2、3、4、5.P89习题3 B组 2、3.拓展提升1.设都是单位向量，则下列结论中正确的是 A B C D2.已知正方形的边长为，则 A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则 .(用表示)4.已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等
11、分点，则用表示的表达式为 A. B . C. D. 5. 已知向量不共线，为实数，则当时，有 ， . 6. 若菱形的边长为，则 . 7.已知,则的取值范围是 . 参考答案来源:zzs*#te%例1 作法：在平面内取一点，作 ，则.来源:*中国教育出版网%例2 解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d， ABCbadcDO作， ， 则= a-b， = c-d. 来&源*:%来源:中&教*网%来源:学.科.网Z.X.X.KA B D C例3 解：由平行四边形法则得：= a + b， = = a-b来，源:*#中国教育出版&网变式一：|a| = |b|， 变式二：a，b互相垂直， 变式三： 不可能，对角线方向不同 例4 解：,与平行.4）单位向量：单位向量：模为1的向量.向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.思考：如何用来表示？ （）例5 解：由题设知，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.来源:学科网若共线，则可为任意实数；若不共线，则有解之，得.来#*源:&中教网综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.例6 解：,中国#教*&育出版网是的重心，.来源:学&科&网拓展提升1.提示：因为是单位向量，2.提示：， .来源:%中教*&网3.4.提示：， ，.5.提示：若不全为，比方，则有，从而共线.6.2 提示： 7.提示:.
