1、乐山沫若中学高2017届高二下期4月考试 数学试题（理） （考试时间：120分钟 总分：150分）范围：选修2-2，程序框图 一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1复数所对应的点位于复平面内（ ）.A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都是偶数”，正确的反设为（ ） A都是奇数 B中至多有一个是奇数 C中恰有一个是奇数 D 中至少有一个是奇数3.函数的递增区间是( ) A. B. C. D. 4. 下列推理是归纳推理的是( )A为定点，动点满足,得的轨迹为椭圆B由,求出,猜想出
2、数列的前项和的表达式C由圆的面积为,猜想出椭圆的面积D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5.如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则（ ）A2 B C D06用数学归纳法证明过程中，由递推到时，不等式左边增加的项为（ ）.A B C D 7.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( )A.5 B.6 C.7 D.88若函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD9函数的定义域为，对任意的，都有成立，则不等式的解集为（ ）A B C D10.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个
3、图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为（ ）A61 B90 C91 D12711. 已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为( )A1 B0 C1 D212已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（ ）ABCD. 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案直接填在题中横线上.14 曲线在点处点的切线方程为_ 15如图，阴影部分的面积是_ 16已知是抛物线上的一点，求过点的切线方程的斜率可通过如下方式：在两边同时对求导，得，则，所以过点的切线的斜率类比上述
4、方法求出双曲线在点处的切线方程为 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17 (本小题满分10分)已知，（1）求；（2）若，求的模18. (本小题满分12分) 已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)求函数yf(x)的单调区间19. (本小题满分12分)数列的前项和记为，已知（）求的值，猜想的表达式；（）请用数学归纳法证明你的猜想(注：不用数学归纳法证明一律不得分）20. (本小题满分12分)已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.21. (本小题满分12分)已知二次函数,直线 (其中,为常数）,的图
5、象如图所示. （1）根据图象求的值； （2）求阴影面积关于的函数的解析式；（3）若问是否存在实数， 使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由22（本题满分14分）设函数.（I）求函数的最小值；（II）设，讨论函数的单调性；（III）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.乐山沫若中学高2017届高二下期4月考答案 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B13,a=2 14.； 15. ； 16. 17.（1）（5分）（2）， （10分）18. 解：(1)因为函数f(x)ax2blnx，所以f(x)2
6、ax.又函数f(x)在x1处有极值，所以即解得（6分）(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f(x)x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)递减极小值递增所以函数yf(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)（ 12分）19. 解：（1）（6分）（2）下面用数学归纳法证明：（1）当时，成立；（2）假设当时，猜想成立，即：当时，所以当时猜想成立。（12分）综上可知得证。注：若没有用数学归纳法证明猜想一律不得分。20.解：（1）定义域为，2分当时，在定义域上单调递增；4分当时，当时，单调递增；当时，单调递减.函
7、数的单调递增区间：，单调递减区间：7分（2）对任意恒成立令，所以10分在上单调递增，在上单调递减，12分.21.解：（1）由图形知： 解之,得函数f（x）的解析式为（4分） （2）由 得 ，直线l1与f（x）的图象的交点坐标为 由定积分的几何意义知：. （8分）（3）令因为x0，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点.当x（0，1）时，是增函数；当x（1，3）时，是减函数；当x（3，+）时，是增函数； 当x=1或x=3时，.又因为当x无限趋近于零时，当x无限大时,所以要使有且仅有三个不同的正根，必须且只须 ，即 故时，函数与的图象有且只有三个不同交点（12分）22.解： () （）
