1、2.2 直线及其方程 2.2.2 直线的方程 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程(重点)2掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系(重点)3灵活选用恰当的方式求直线方程(难点)1通过直线方程的学习，培养数学抽象的核心素养2通过直线方程适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线怎样表示直线的方程呢？
2、知识点 1 直线的点斜式方程与斜截式方程 在平面直角坐标系中，如果已知 P0(x0，y0)是直线 l 上一点及 l的斜率信息，就可以写出直线 l 的方程(1)如果直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为_(2)直线的点斜式方程 若直线 l 的斜率存在且为 k，P(x，y)为直线 l 上不同于 P0 的点，则直线 l 的方程为_由直线上一点和直线的斜率确定，通常称为直线的点斜式方程 xx0yy0k(xx0)1直线的点斜式方程应用范围是什么？提示 直线 l 的斜率 k 存在(3)直线的斜截式方程 当直线 l 既不是 x 轴也不是 y 轴时：若 l 与 x 轴的交点为(a，0)，则称 l 在 x
3、 轴上的截距为_；若 l 与 y 轴的交点为(0，b)，则称 l 在 y轴上的截距为_一条直线在 y 轴上的截距简称为_如果已知直线的斜率为 k，截距为 b，则直线 l 的方程为_由直线的斜率和截距确定，通常称为直线的斜截式方程 ab截距ykxb2直线的斜截式方程应用范围是什么？提示 直线既不与 x 轴重合也不与 y 轴重合 1已知直线的方程是 y2x1，则()A直线经过点(1，2)，斜率为1 B直线经过点(2，1)，斜率为1 C直线经过点(1，2)，斜率为1 D直线经过点(2，1)，斜率为 1 C 方程变形为 y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1 知识点 2 直线的两点式方程与截距式方
4、程 (1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2x1，y2y1时，则 称为直线的两点式方程(2)若直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且ab0，则方程称为直线的截距式方程 yy1y2y1 xx1x2x1xayb13直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？提示 两点式表示的直线 l 不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线 l 不与坐标轴平行或重合，且不过原点 2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线 y3m(x1)恒过定点(1，3)()(2)直线 y2x3 在 y 轴上的截距为 3()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示()(4)经过任意两个不同的点
5、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)由点斜式方程的形式知正确(2)由斜截式方程的形式知正确(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误(4)正确 3过点(1，2)和(3，5)的直线方程为_ 3x2y10 由直线的两点式方程，得y252x131，化简得3x2y10 知识点 3 直线的一般式方程 直线的一般式方程为_ AxByC0(A2B20)(1)对于直线方程的一般式，有如下约定：一般按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x，y 项的系数和常数项一般不出现
6、分数；直线方程的其他形式都可以化成一般式解题时，如果没有特别说明应把最后结果化成一般式(2)直线方程 AxByC0(A2B20)的系数 A，B，C 满足下列关系时，这条直线有以下性质：当 A0，B0 时，直线与两坐标轴都相交；当 A0，B0，C0 时，直线只与 x 轴相交，即直线与 y 轴平行，与 x 轴垂直；当 A0，B0，C0 时，直线只与 y 轴相交，即直线与 x 轴平行，与 y 轴垂直；当 A0，B0，C0 时，直线与 x 轴重合；当 A0，B0，C0 时，直线与 y 轴重合 4(多选题)下列说法中正确的是()A平面上任一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程AxByC0(A，
7、B 不同时为 0)表示 B当 C0 时，方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)表示的直线过原点 C当 A0，B0，C0 时，方程 AxByC0 表示的直线与 x 轴平行 D任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 ABC 对于选项 A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当 90时，直线的斜率 k 存在，其方程可写成 ykxb，它可变形为 kxyb0，与 AxByC0 比较，可得 Ak，B1，Cb，显然 A，B 不同时为 0，当 90时，直线方程为 xx10，与 AxByC0 比较，可得 A1，B0，Cx1，显然 A，B 不同时为 0，所以此说法是正确的 对于选项 B，当 C0
8、 时，方程 AxByC0(A，B 不同时为0)，即 AxBy0，显然有 A0B00，即直线过原点 O(0，0)，故此说法正确 对于选项 C，当 A0，B0，C0 时，方程 AxByC0 可化为 yCB，它表示的直线与 x 轴平行，故此说法正确 对于选项 D，当 B0 时，方程 AxByC0 不能化为斜截式，故此说法错误故选 ABC 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 求直线的点斜式方程 【例 1】写出下列直线的点斜式方程(1)经过点(2，5)，倾斜角为 45；(2)直线 yx1 绕着其上一点 P(3，4)逆时针旋转 90后得直线 l，求直线 l 的点斜式方程；(3
9、)经过点 C(1，1)，且与 x 轴平行；(4)经过点 D(1，1)，且与 x 轴垂直 解(1)因为倾斜角为 45，所以斜率 ktan 451，所以直线的点斜式方程为 y5x2(2)直线 yx1 的斜率 k1，所以倾斜角为 45 由题意知，直线 l 的倾斜角为 135，所以直线 l 的斜率 ktan 1351 所以直线 l 的点斜式方程为 y4(x3)(3)由题意知，直线的斜率 ktan 00，所以直线的点斜式方程为 y(1)0，即 y1(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为 x1，该直线没有点斜式方程 1当 k0 时，直线方程变为 yy0这时，直线平行于 x 轴或与 x 轴重合2
10、点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在，当直线 l 的倾斜角为 90时，直线 l 的斜率不存在，这时直线 l 的方程不能用点斜式表示，此时直线 l 的方程可表示为 xx00 或 xx0 跟进训练 1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点 P(4，3)，斜率 k3；(2)过点 P(3，4)，且与 x 轴平行；(3)过 P(2，3)，Q(5，4)两点 解(1)直线过点P(4，3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40(3)过点P(2，3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ 435277
11、1 又直线过点P(2，3)，直线的点斜式方程为y3(x2)类型 2 求直线的斜截式方程【例 2】根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率是 3，在 y 轴上的截距是3；(2)倾斜角是 60，在 y 轴上的截距是 5；(3)过点 A(1，2)，B(2，3)解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为 y3x3(2)倾斜角是 60，斜率 ktan 60 3，由斜截式可得方程y 3x5(3)斜率为 k 32215，由点斜式得 y35(x2)，化为斜截式 y5x7 1用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别2直线的斜截式方程 ykxb 不仅形式简单，而且
12、特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距，只要确定了 k 和 b 的值，直线的图像就一目了然因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用 k，b 的几何意义进行判断 跟进训练 2(1)写出直线斜率为1，在 y 轴上截距为2 的直线的斜截式方程；(2)求过点 A(6，4)，斜率为43的直线的斜截式方程；(3)已知直线 l 的方程为 2xy10，求直线的斜率，在 y 轴上的截距以及与 y 轴交点的坐标 解(1)易知 k1，b2，故直线的斜截式方程为 yx2(2)由于直线的斜率 k43，且过点 A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为 y443(x6)，化
13、成斜截式为 y43x4(3)直线方程 2xy10 可化为 y2x1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率 k2，在 y 轴上的截距 b1，直线与 y 轴交点的坐标为(0，1)类型 3 直线的两点式方程 【例 3】(对接教材人教 B 版 P82 例 3)在ABC 中，A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)(1)求 BC 所在直线的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程 解(1)BC 边过两点 B(5，4)，C(0，2)，由两点式得y424x505，即 2x5y100 故 BC 所在直线的方程为 2x5y100(2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)，则 x0502 52，y04223M5
14、2，3，又 BC 边上的中线经过点 A(3，2)，由两点式得 y232x3523，即 10 x11y80 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80 1由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程 2求直线的两点式方程的策略以及注意点 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程 跟进训练 3(1)若直线 l 经过点 A(2，1)，B(2，7)，则直线 l 的方程为_；(2)若点 P(3，m)在过点
15、 A(2，1)，B(3，4)的直线上，则 m_(1)x2(2)2(1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为 x2(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为y141 x232，即 xy10 又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3m10，得 m2 类型 4 直线的一般式方程 【例 4】设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)若直线 l 不过第三象限，则 a 的取值范围为_ 直线的一般式方程能化成斜截式吗？提示 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线因此在一定条件下，直线的一般式方程可化成斜截式：(1)当 B0 时，AxByC0
16、 可化为 yABxCB，它表示在 y轴上的截距为CB，斜率为AB的直线(2)当 B0 时，直线斜率不存在，没有斜截式方程 1，)把直线 l 化成斜截式，得 y(1a)xa2，因为直线 l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在 y 轴上的截距大于等于零 即1a0，a20，解得 a1所以 a 的取值范围为1，)1本例中若将方程改为“x(a1)y2a0(aR)”，其他条件不变，又如何求解？解(1)当 a10，即 a1 时，直线为 x3，该直线不过第三象限，符合题意(2)当 a10，即 a1 时，直线化为斜截式方程为 y 11ax2a1a，因为直线 l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于
17、零，且直线在 y 轴上的截距大于等于零，即 11a0，2a1a0，解得 a1由(1)(2)可知 a1 2若本例中的方程不变，当 a 取何值时，直线不过第二象限？解 把直线 l 化成斜截式，得 y(1a)xa2，因为直线 l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在 y 轴上的截距小于等于零即1a0，a20，解得 a2所以 a 的取值范围为(，2 当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程但它的参数要有限制，注意分类讨论，直接研究 ykxb：k0，b0，经过第一、二、三象限；k0，b0，经过第一、三、四象限；k0，经过第一、二、四象限；k0，b0，
18、经过第二、三、四象限.跟进训练 4如果 AC0，且 BC0，那么直线 AxByC0 不过()A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 C 由 AC0 且 BC0 知，直线 AxByC0 在两坐标轴上的截距均大于 0，故直线不过第三象限 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1过点(3，2)，倾斜角为 60的直线方程为()Ay2 3(x3)By2 33(x3)Cy2 3(x3)Dy2 33(x3)C 因为直线的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 3，由直线方程的点斜式，可得方程为 y2 3(x3)1 3 5 2 4 2直线 y2 3(x1)的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为()
19、A60，2B60，2 3 C120，2 5D120，2 B 由 y2 3(x1)可知斜率 k 3，故倾斜角为 60，令 x0 可得在 y 轴上的截距为 2 3 1 3 5 2 4 3直线 ykxb 通过第一、三、四象限，则有()Ak0，b0Bk0，b0 Ck0，b0Dk0，b0 B 直线经过第一、三、四象限，由图知，k0，b0 1 3 5 2 4 4已知直线 l 过点 P(2，1)，且斜率为1，则 l 的点斜式方程为_ y1(x2)直线 l 的斜率 k1，又过点 P(2，1)，所以直线 l 的点斜式方程为 y1(x2)1 3 5 2 4 5过点(1，2)且以直线 2x3y70 的法向量为方向向
20、量的直线的一般式方程是_ 3x2y10 由直线 2x3y70 的斜率为23，可得所求直线的斜率为32，所以所求直线的方程为 y232(x1)，即 3x2y10 回顾本节知识，自我完成以下问题：1yy0 xx0k 与 yy0k(xx0)有什么不同？提示 yy0 xx0k 与 yy0k(xx0)的不同之处在于前者表示的直线上缺少一个点 P0(x0，y0)，后者才表示整条直线 2试比较各种不同直线方程的特点及适用范围 提示 直线方程五种形式的比较 名称方程的形式常数的几何意义适用范围 点斜式yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上一定点，k 是斜率不垂直于 x 轴的直线 斜截式ykxbk 是斜率，b
21、 是直线在 y 轴上的截距不垂直于 x 轴的直线 名称方程的形式常数的几何意义适用范围 两点式yy1y2y1 xx1x2x1(x1x2，y1y2)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴的直线 截距式xayb1(a0，b0)a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直线在 y 轴上的非零截距不垂直于 x 轴和 y 轴，且不过原点的直线 名称方程的形式常数的几何意义适用范围 一般式AxByC0(A2B20)所有直线 直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此在应用时要注意它们各自的适用范围，避免漏解 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
