1、专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.(2018全国,理4)若sin =,则cos 2=()A.B.C.-D.-2.已知=-,则sin +cos 等于()A.-B.C.D.-3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A.B.C.D.4.在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,则sinBAC等于()A.B.C.D.5.已知在ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120,a=2b,则tan A=.6.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.7.(2018
2、全国,理15)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.8.在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求ABC面积的最大值.二、
3、思维提升训练12.若0,-0,cos,cos,则cos等于()A.B.-C.D.-13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=acos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A.B.C.D.14.在ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则ABC的面积为.15.已知sinsin,则sin 4的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.17.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C,且.(1)判断ABC的形状;(2)若|=2,求
4、的取值范围.专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.B解析 cos 2=1-2sin2=1-22.D解析 =-=2coscos +sin =-,sin +cos =-,故选D.3.D解析 由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=0B,角B为故选D.4.C解析 在ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BABCcosABC=()2+32-23cos=5.解得AC=由正弦定理,得sinBAC=5解析 由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180-A-120=60-A,所以sin A=2sin(60-A),即sin A=cos A-
5、sin A,所以2sin A=cos A,故tan A=6解析 因为cos A=,cos C=,且A,C为ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin-(A+C)=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C=又因为,所以b=7.-解析 (sin +cos )2+(cos +sin )2=1,sin2+cos2+cos2+sin2+2sin cos +2sin cos =1+1+2sin(+)=1.sin(+)=-8.解 (1)由余弦定理及题设得cos B=又因为0B,所以B=(2)由(1)知A+C=cos A+cos C=cos A+cos=cos A-
6、cos A+sin A=cos A+sin A=cos因为0A0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2因为0A,所以0sin A,因此-2由此可知sin A+sin C的取值范围是11.解 (1)由题意知f(x)=sin 2x-由-+2k2x+2k,kZ,可得-+kx+k,kZ;由+2k2x+2k,kZ,可得+kx+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ);单调递减区间是(kZ).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得
7、1+bc=b2+c22bc,即bc2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A所以ABC面积的最大值为二、思维提升训练12.C解析 cos,0,sin又cos,-0,sin,cos=cos=coscos+sinsin=13.A解析 由正弦定理,得sin Csin A=sin Acos C.因为0A0,从而sin C=cos C.又cos C0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cossin A-cos(-A)=sin A+cos A=2sin因为0A,所以A+,从而当A+,即A=时,2sin取最大值2.故选A.14.20或24解析 在CDB中,设CD=t,由余弦定理得
8、49=64+t2-28tcos,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,ABC的面积S=108sin=20;当t=5时,CA=12,ABC的面积S=128sin=24故ABC的面积为20或2415.-解析 因为sin=sin=cos,所以sinsin=sincossin=cos 2=,所以cos 2=因为,所以20,tan Btan C0,所以tan A+2tan Btan C2,当且仅当tan A=2tan Btan C时,等号成立,即tan Atan Btan C2,解得tan Atan Btan C8,即最小值为8.17.解 (1)由及正弦定理,得sin B=sin 2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,C,B(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC为等腰三角形.(2)|=2,a2+c2+2accos B=4.又由(1)知a=c,cos B=而cos B=-cos 2C,cos B1,1a2=accos B=a2cos B,且cos B=,a2cos B=2-a2
