1、导数及其应用12015天津卷 已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_22014新课标全国卷改编 设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a_32015北京卷改编 已知函数f(x)ln，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_42014湖北卷改编 函数f(x)的单调递增区间是_52015全国卷 已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_62013新课标全国卷改编 函数 f(x)4ex(x1)x24x的极大值是_72013北京卷改编 函数f(x)x1的最小值为
2、_82014山东卷改编 直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为_考点一导数的几何意义题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：导函数的计算，求曲线在某点处的切线方程及由切线方程求参数的取值1 2015陕西卷 设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_听课笔记 小结 函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值式题 函数f(x)exsin x的图像在点
3、(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A. B.C. D.考点二函数的单调性与极值(最值)题型：解答分值：12分难度：较难 热点：函数单调性的讨论，极值和最值，不等式的证明以及恒成立问题考向一函数的单调性2 2015全国卷 设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围听课笔记 小结 确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同式题 已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是
4、增函数，则实数a的取值范围是_考向二求函数的极值、最值 3 (1)已知函数f(x)ln(xa)ax，求函数f(x)的单调区间和极值(2)已知函数f(x)(ax2)ex在x1处取得极值，求函数f(x)在m，m1上的最小值听课笔记 小结 利用导数求函数极值的一般步骤：对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点两侧导数的符号，先确定其是否为极值点，若是极值点，则再确定是极大值点还是极小值点考向三生活中的优化问题 4 学习曲线是1936年美国康奈尔大学T. P. Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的已知某类学习任务的学习曲线为f(
5、t)100%(f(t)为该学习任务掌握的程度，t为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f(2)60%.(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；(2)已知2xxln 2对任意x0恒成立，现定义为某类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t(1，2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数对应的取值范围听课笔记 小结 生活中的优化问题的核心是函数建模，建立函数模型的关键是找到一个变量，这个变量能表达求解目标需要的一切量，这样就可以建立求解目标关于这个变量的函数模型注意实际问题中函数的定义域是由问题的实际意义所确定的考点三 函数的单调性与不等式题型：
6、解答分值：12分难度：较难热点：以单调性、极值、最值为依托的各类不等式证明，或者根据不等式确定参数范围考向一研究不等式恒成立时参数范围问题 5 已知f(x)xexax2x，aR.(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x0时，恒有f(x)f(x)(4a1)x成立，求实数a的取值范围听课笔记 小结 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题但要注意的是分离参数不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，则不要分离参数考向二构建函数解决不等式证明问题 6 已知函数f(x)其中e2.7
7、18 28是自然对数的底数，mR.(1)若函数f(x)为(0，1)上的单调增函数，求m的取值范围；(2)对任意的1ab，求证：0解得0x0；当x（2，ln 2）时，f（x）0.当0x1时，x210，ln x0，所以f（x）1时，x210，ln x0，所以f（x）0，故f（x）单调递增.x1是函数f（x）在定义域上唯一的极小值点，也是最小值点，所以f（x）minf（1）0.8.4解析 由4xx3，解得x0或x2或x2（舍去），根据定积分可知，直线y4x与曲线yx3在第一象限内所围成的面积为（4xx3）dx （2x2x4）|4. 考点考向探究考点一导数的几何意义例1（1，1）解析 对yex求导得y
8、ex，令x0，得曲线yex在点（0，1）处的切线斜率为1，故曲线y（x0）上点P处的切线斜率为1，由y1，得x1，则y1，所以P的坐标为（1，1）.变式题C解析 因为f（x）exsin xexcos x，所以f（0）1，即曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线的斜率为1，所以在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为.考点二函数的单调性与极值（最值）考向一函数的单调性例2解：（1）证明：f（x）m（emx1）2x.若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0.若m0，f（x）0；当x（0，）时，emx10.所以f（x）在（，0）上单调递减，在（0，）上单调递增.（2）由（1）知，对任意的m，f
9、（x）在1，0上单调递减，在0，1上单调递增，故f（x）在x0处取得最小值.所以对于任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1的充要条件是即设函数g（t）ette1，则g（t）et1.当t0时，g（t）0时，g（t）0.故g（t）在（，0）上单调递减，在（0，）上单调递增.又g（1）0，g（1）e12e1时，由g（t）的单调性，知g（m）0，即emme1；当m0，即emme1.综上，m的取值范围是1，1.变式题解析 由题意知f（x）x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立.记t（x）x，x，则易知t（x）maxt，所以2a，即a.考向二求函数的极值、最值例3解：（1）f（x）ln（xa）
10、ax，函数f（x）的定义域为（a，），f（x）a.当a0时，f（x）a0，函数f（x）在（a，）上为增函数，无极值.当a0时，令f（x）0，解得xaa，当f（x）0时，解得axa，函数f（x）为增函数，当f（x）0时，解得xa，函数f（x）为减函数，故当xa时，函数f（x）有极大值，极大值为flna21.综上所述，当a0时，函数f（x）在（a，）上为增函数，无极值；当a0时，函数f（x）在上为增函数，在上为减函数，函数f（x）有极大值，极大值为lna21.（2）f（x） aex（ax2）ex（axa2）ex.由已知得f（1）0，即（2a2）e0，解得a1，验证知，当a1时，函数f（x）（x2）
11、ex在x1处取得极小值，所以a1.f（x）（x2）ex，f（x）ex（x2）ex（x1）ex.f（x），f（x）随x的变化情况如下：x（，1）1（1，）f（x）0f（x）减e增所以函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，）上单调递增.当m1时，f（x）在m，m1上单调递增，f（x）minf（m）（m2）em.当0m1时，m1m1，f（x）在m，1上单调递减，在1，m1上单调递增，f（x）minf（1）e.当m0时，m11，f（x）在m，m1上单调递减，f（x）minf（m1）（m1）em1.综上，f（x）在m，m1上的最小值f（x）min考向三生活中的优化问题例4解：（1）因为f（t）100
12、%，且f（2）60%，所以100%60%，解得a4，所以f（t）100%（t0）.f（0）100%37.5%，f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.（2）令学习效率指数y，则y（t0），现研究函数g（t）t的单调性.由于g（t）（t0），且2xxln 2对任意x0恒成立，所以2ttln 20，则g（t）0恒成立，所以g（t）在（0，）上为增函数，且g（t）g（0）0.所以y（t0）在（0，）上为减函数，而，所以y，故所求学习效率指数的取值范围是.考点三函数的单调性与不等式考向一研究不等式恒成立时参数范围问题例5解：（1）对f（x）求导，得f（x）（x1）ex2ax1.当
13、a时，f（x）（x1）ex（x1）（x1）（ex1）.当x0或x0；当1x0时，f（x）1，即a时，令u（x）0，得xln 2a.当x0，ln 2a）时，u（x）0，g（x）ex2ax2a在0，ln 2a）上单调递减，所以当x0，ln 2a）时，g（x）ex2ax2ag（0）12a0，且f（x）为（0，1）上的单调增函数，所以2x2mx10在（0，1）上恒成立，即m2x在（0，1）上恒成立.设u（x）2x，x（0，1），因为u（x）在（0，1）上是增函数，且u（x）u（1）1，所以当m1时，f（x）为（0，1）上的单调增函数.（2）证明：依题意知，当x1，）时，f（x）ln xx2，所以11.
14、记g（x）xln x1（x1，），因为g（x）10，所以g（x）在1，）上单调递增，则g（x）g（1）0，从而ln xx1（x1，）. （*）又因为1a1，由（*）式，知ln1，即1，于是，11.故当1ab时，不等式0得x，由g（x）0得0x，又x0，2，所以g（x）在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，所以g（x）maxg（2）1，g（x）ming（），所以g（x1）g（x2）maxg（x）maxg（x）minM，则满足条件的最大整数M4.（2）对于任意的s，t，都有f（s）g（t）成立，等价于在区间上，函数f（x）ming（x）max.由（1）可知在区间上，g（x）maxg（2）
15、1，所以在区间上，f（x）min1恒成立，等价于f（x）xln x1恒成立，等价于axx2ln x恒成立.设h（x）xx2ln x，h（x）12xln xx，易知h（x）在区间上是减函数，且h（1）0，即所以当1x2时，h（x）0；当x0.所以函数h（x）xx2ln x在区间上单调递增，在区间（1，2上单调递减，所以h（x）maxh（1）1，故实数a的取值范围是1，）.考点四定积分例8（1）（2）1.2解析 （1）求得曲线与直线的交点坐标是（0，0）和（1，1），所以封闭图形的面积为（xx2）dx（x2x3）|.（2）以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为
16、yax2，根据已知点（5，2）在该抛物线上，代入抛物线方程得a，即抛物线方程为yx2，故抛物线与直线y2所围成的图形的面积为2（2x2）dx0，梯形的面积为216.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为1.2.变式题4解析 所求面积S（x2）dx02cos xdx|2sin x|04. 教师备用例题例1（配考点三使用）已知函数f（x）ax22x1ln（x1）（a1）.（1）求曲线yf（x）在点P（0，1）处的切线方程.（2）函数f（x）是否存在单调递减区间？若存在，设其单调递减区间为m，n，试求nm的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）因为点P在曲线yf（x）上，由f（x）ax22x1l
17、n（x1），得f（x）ax2，所以切线斜率kf（0）1，故所求切线方程为yx1.（2）假设函数f（x）存在单调递减区间，由f（x）ax22x1ln（x1），得f（x）ax2（x1）.令h（x）ax2（a2）x1（x1），因为a240，函数h（x）图像的对称轴为x1，h（1）a2a110，所以h（x）0在（1，）上一定存在两个不同的实数根m，n，且mn，mn，所以h（x）ax2（a2）x1h（x0）成立，求实数m的取值范围.解：（1）由题意，g（x）0在区间1，）上恒成立，即0在1，）上恒成立.因为（0，），所以sin 0，故xsin 10在1，）上恒成立，即只需sin 110，即sin 1，所
18、以sin 1，所以.（2）构造函数F（x）f（x）g（x）h（x），则F（x）mx2ln x.当m0时，由x1，e，得mx0，2ln xh（x0）成立；当m0时，F（x）m.因为x1，e，所以2e2x0，mx2m0，即F（x）0在1，e上恒成立，故F（x）在1，e上单调递增，所以F（x）maxF（e）me40，解得m.例3（配例8使用）一列火车在平直的铁轨上行驶，遇到紧急情况时，火车紧急刹车，此时火车以速度v（t）5t（t的单位：s，v的单位：m/s）减速至停止，在此期间火车继续行驶的距离是（）A.55ln 10 m B.55ln 11 mC.（1255ln 7）m D.（1255ln 6）m解析 B令5t0，得t10（舍去负值），即经过10 s火车停止，行驶的距离sdt|55ln 11（m），即紧急刹车后火车继续行驶的距离是55ln 11 m.
