1、第2课时一元二次不等式的应用学 习 任 务核 心 素 养1掌握一元二次不等式的实际应用(重点)2理解三个“二次”之间的关系3会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)1通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养2借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要依据在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车
2、距离s m与车速v km/h之间的关系，试判断甲、乙两车有无超速现象知识点1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式0(0)(其中a，b，c，d为常数)法一：或法二：(axb)(cxd)0(0)0(0)法一：或法二：k (其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式1.0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？提示等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)1的解集为x2时可转化x22(2x1)求解()答案(1)(2)(3)知识点2与一元二次不等式相关的恒成立问题(1)不等式的解集
3、为R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0b0，c0在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式x10的解集有什么关系？提示x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在x轴上方区间2,3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x10的解集的子集2.若关于x的不等式(k1)x2(k1)x10恒成立，则实数k的取值范围为_k|3k1当k1时，10恒成立当k1时，由题意知解得3k1.所以实数k的取值范围是k|3k1知识点3从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量
4、，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题3.用一根长为100 m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为_(20,30)设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50x)m，且0x600，即x250x6000，解得20x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形 类型1分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)不等式0可转化为(2x1)(x3)0，即x3.原不等式的解集为.(2)原不等式可化为
5、10即0.不等式等价于，解得x1.解(1)由0知，解得x1或x1可化为10，即0，所以(6x4)(4x3)0，x，原不等式的解集为. 类型2一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路点拨将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(12x
6、%)吨，“原计划的78%”即为2 400m8%78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0x8)依题意，得y2 400m8%78%，即m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知00，方程R210R160的两个实数根为R12，R28.由二次函数yR210R16的图象可得不等式的解集为R|2R8)所以，当2R8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元 类型3不等式恒成立问题【例3】若函数yx2ax3在x3，1上恒有x2ax30恒成立求a的取值范围结合图象说明对x3，
7、1上恒有x2ax30的意义是什么？提示当x3，1时函数图象在x轴下方解要使x2ax30在3，1上恒成立，则必使函数yx2ax3在3，1上的图象在x轴的下方，由函数yx2ax3的图象可知，此时a应满足即解得a2.故当a(，2)时，有x2ax30在x3，1时恒成立若函数yx22(a2)x4对任意a3,1时，y0恒成立，如何求x的取值范围？解由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数yf(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令yg(a)2xax24x4.要使对任意a3,1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4对任意
8、a3,1，y0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，2不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，3ya恒成立aM(函数的最大值为M)，ya恒成立am(函数的最小值为m)跟进训练3若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立求a的取值范围解当a20即a2时，不等式为40，恒成立当a20时，则a满足，解得2a2.综上所述，a的范围是2a2. 1不等式0的解集为()A(，1)(1,2)B1,2C(，1)(2，)D(1,2D不等式可化为，解得10恒成立，需，解得0m4.综上0m4.故ABC正确4不等式0的解集为_x|2
9、x3且x1不等式可化为(x2)(x3)0且x10，解得2x3且x1.5某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是_台150y25x0.1x25x3 0000，所以x250x30 0000，得x200(舍去)或x150，又因为0x240，xN，所以150x0在集合A中恒成立问题？提示集合A是不等式ax2bxc0的解集的子集，可以先求解集由子集的含义求解参数的取值(范围)3解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示关键在于构造一元二次不等式模型，列出不等关系
