1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行关系填一填1.点的位置向量(1)基点：在空间中，我们取一定点O作为基点(2)向量表示：空间中任意一点P的位置可以用向量来表示我们把向量称为点P的位置向量2用向量表示空间直线(1)确定空间直线l位置的两个条件：直线l上一个定点A；一个定方向(2)向量表达式：点A是直线l上的一个点，向量a表示直线l的方向向量，在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得t.(3)空间直线的向量表达式的两点作用：定位置：点A和向量a可以确定直线的位置；定点：可以具体表示出l上的任意一点3向量a为平面的法向量应满足的两
2、个条件(1)向量a表示直线l的方向向量；(2)直线l平面.4用向量描述空间平行关系设空间两条直线l，m的方向向量分别为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，两个平面，的法向量分别为u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，则有如下结论位置关系向量关系向量运算关系坐标关系lmabakb，kRa1kb1，a2kb2，a3kb3lauau0a1u1a2u2a3u30uvukv，kRu1kv1，u2kv2，u3kv3判一判1.直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量()2若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()3若平面外
3、的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()4直线的方向向量是唯一的()5直线的方向向量可能是零向量()6平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量()7直线的方向向量所在直线与已知直线平行或重合()8若，都是直线l的方向向量，则，所以ABCD.()想一想1.若点A为定点，向量a为给定向量，对任给实数t，有ta，那么点P的轨迹是什么？点P的轨迹是过A平行于向量a的一条直线2已知两定点A，B，点M满足()，试确定点M的位置因为2，所以，所以.因此点M为线段AB的中点3在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组
4、的一组非零解，即可作为法向量的坐标思考感悟：练一练1若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0,1,2) B(3,6,9)C(1，2,3) D(3,6,8)答案：B2若A(1,0，1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2,2,6) B(1,1,3)C(3,1,1) D(3,0,1)答案：A3设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4C4 D2答案：C4若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不
5、正确答案：B知识点一直线的方向向量1若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A. B.C. D.解析：(1,2,3)，(1,2,3)，向量是直线l的一个方向向量故选A.答案：A2已知A(0，y,3)，B(1，2，z)，若直线l的方向向量v(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数yz等于()A3 B0C1 D3解析：由题意，得(1，2y，z3)，则，解得y，z，所以yz0，故选B.答案：B知识点二平面的法向量3.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0,1,2) B(3,6,9)C(1，2,3) D(3,6,8)解析：由题意知，与a共线的
6、向量都能作为平面的法向量，由(3,6,9)3(1,2,3)知，向量(3,6,9)与向量a(1,2,3)共线故选B.答案：B4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1,1，1) B(1，1,1)C(1,1,1) D(1，1，1)解析：(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1)答案：D知识点三空间向量的平行关系5.已知向量(1,5，2)，(3,1,2)，(x，3,6)若DE平面ABC，则x的值是()A1 B2C3 D5解析：设平面ABC的一个法向量为n
7、(x，y，z)，则，从而，则可令n，又DE平面ABC，则n0，则x5.答案：D6已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.解析：l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m,1)2m20，解得m8.答案：8综合应用7.平面的法向量u(x,1，2)，平面的法向量v，已知，则xy_.解析：因为，所以uv.则，即故xy.答案：8已知平面经过点A(0,0,2)，且平面的一个法向量为n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_解析：设交点为M(x,0,0)，则(x,0，2)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则n0，解得x2，故x轴与平面的交点坐标是(2,0,0)答案：(2,0,0)
8、基础达标一、选择题1l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量v2(，4,6)，若l1l2，则等于()A1 B2C3 D4解析：l1l2，v1v2，2.答案：B2已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，则下列结论成立的是()A若an，则a B若an0，则aC若an，则a D若an0，则a解析：由直线的方向向量与平面的法向量的定义，知应选C，对于选项D，直线a在平面内，也满足an0.故选C.答案：C3直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()Aa BakCap D以上均不能解析：A、B、C均能表示l或l .故选D.答案：D4已知a(1,0,2)，b(6,21,
9、2)，若ab，则与的值可以分别是()A2， B，C3,2 D2,2解析：由题意知解得或答案：A5若平在、的法向量分别为u(2，3,5)，v(3,1，4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确解析：且uv0，、相交但不垂直答案：C6已知平面内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，则()A BC与相交但不垂直 D以上都不对解析：(0,1，1)，(1,0，1)，n(1，1，1)(0,1，1)10(1)1(1)(1)0，n(1，1，1)(1,0，1)110(1)(1)0，n，n.n也为的一个法向量又与不重合，.答案：A7已知
10、平面内有一点A(2，1,2)，的一个法向量为n，则下列四个点中在平面内的是()AP1(1，1,1) BP2CP3 DP4解析：对于选项A中的点P1(1，1,1)，(1,0,1)，n0，排除A.同理可排除C，D.对于选项B中的点P2，n0，故选B.答案：B8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：以C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系因为A1MANa，所以M，N，所以.又C1(0,0,0)，D1(0，a
11、,0)，所以(0，a,0)，所以0，所以.因为是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.答案：B二、填空题9已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(2,1,4)，则m_.解析：l，22m1140.m8.答案：810已知直线l的方向向量为v(1，1,2)，平面的法向量为n(2,4,1)，且l，则l与的位置关系是_解析：因为vn2420，所以vn.又l，所以l.答案：la11若A，B(1，1,0)，C(2,1,0)是平面内的三点，设平面的法向量n(x，y，z)(x，y，z0)，则xyz_.解析：，.由得解得则xyzyy23(4)答案：23(4)1
12、2已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，5)，点P(x，1,3)在平面ABC内，则x的值为_解析：点P在平面ABC内，存在实数k1，k2，使k1k2，即(x4，2,0)k1(2,2，2)k2(1,6，8)，解得x42k1k2817，即x11.答案：11三、解答题13如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点求证：MN平面ABCD.证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，B1(0,1,2)，D1(1，2,2)因为M，
13、N分别为B1C，D1D的中点，所以M，N(1，2,1)依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，又，则n0，又直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.14在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG平面HMN.证明：如图，建立空间直角坐标系不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1，1)，所以(0，1,1)，(1,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的一个法
14、向量由得令x11，得m(1，1，1)由得令x21，得n(1，1，1)于是有mn，所以mn.故平面EFG平面HMN.能力提升15.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解析：如图所示，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则O，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，则Q(0,1，z)，(1，1,1)，OPBD1.，(1,0，z)，当z时，即APBQ，有平面PAO平面D
15、1BQ，当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.16在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CGEF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由解析：存在如图，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则E，F，C(0,1,0)，假设在DD1上存在一点G，使CGEF，则，由于点G在z轴上，设G(0,0，z)，则，(0，1，z)，即(0，1，z).解得z0,1，点G在线段DD1上，其坐标为.故在线段DD1上存在一点G，使CGEF，点G是DD1上靠近点D1的三等分点- 9 - 版权所有高考资源网
