1、2015-2016学年山东省莱芜市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题；本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的1函数的定义域为（）Ax|x0 Bx|x10 Cx|x1 Dx|x12已知向量与的夹角为120，且|=|=2，那么（2）的值为（）A8 B6 C0 D43若等差数列an的前7项和S7=21，且a2=1，则a6=（）A5 B6 C7 D84已知，为不重合的两个平面，直线m，那么“m”是“”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5直线3xy=0绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到直线的方
2、程为（）Ax+3y3=0 Bx+3y1=0 C3xy3=0 Dx3y+3=06已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）=ln（1x），则函数f（x）的大致图象为（）A B C D7直线ax+byab=0（a）与圆x2+y22=0的位置关系为（）A相离 B相切 C相交或相切 D相交8直线a、b是异面直线，、是平面，若a，b，=c，则下列说法正确的是（）Ac至少与a、b中的一条相交 Bc至多与a、b中的一条相交Cc与a、b都相交 Dc与a、b都不相交9已知函数f（x）=x22cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2； |x1|x2；x1|x2|，其中能使恒成立的条件
3、个数共有（）A1个 B2个 C3个 D4个10已知双曲线的左焦点是F（c，0），离心率为e，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆x2+y2=c2在y轴右侧交于点P，若P在抛物线y2=2cx上，则e2=（）A B C D二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分11若双曲线kx2y2=1的一个焦点的坐标是（2，0），则k=12函数图象的对称中心的坐标为13某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是14若直线过点（2，1），则3a+b的最小值为15已知a、b是异面直线，M为空间一点，Ma，Mb给出下列命题：存在一个平面，使得b，a；存在一个平面，使得b，a；存在一条直线l，使得
4、Ml，la，lb；存在一条直线l，使得Ml，l与a、b都相交其中真命题的序号是（请将真命题的序号全部写上）三、解答题：本大题共6个小题，满分75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，3），其中A是ABC的内角（）求角A的大小；（）若ABC为锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=，b=3，求ABC的面积17已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为圆M：x2+y24x=0的圆心，直线l与抛物线C的准线和y轴分别交于点P、Q，且P、Q的纵坐标分别为3t、2t（tR，t0）（）求抛物线C的方程；（）求证：直线l恒与圆M相切18设数
5、列an的前n项的和为（）求数列an的通项公式；（）设，数列bn的前n项的和为Tn，若对一切nN*，均有，求实数m的取值范围19如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C侧面AA1B1B，且AB=4AA1=4，BAA1=60，D是AB的中点（）求证：AC1平面CDB1；（）求证：DA1平面AA1C1C20已知椭圆，其焦点在O：x2+y2=4上，A，B是椭圆的左右顶点（）求椭圆C的方程；（）M，N分别是椭圆C和O上的动点（M，N不在y轴同侧），且直线MN与y轴垂直，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，求证：PNQN21已知函数f（x）=xaxlnx，aR（）当a=1
6、时，求函数f（x）的单调区间；（）设，若函数g（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（）若，使得成立，求实数a的取值范围2015-2016学年山东省莱芜市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题；本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的1函数的定义域为（）Ax|x0 Bx|x10 Cx|x1 Dx|x1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可【解答】解：函数，解得，即x1，f（x）的定义域为x|x1故选：C2已知向量与的夹角为120，且|=|=2，那么（2）的值
7、为（）A8 B6 C0 D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【解答】解：向量与的夹角为120，且|=|=2，可得=|cos120=22（）=2，即有（2）=22=2（2）4=8故选：A3若等差数列an的前7项和S7=21，且a2=1，则a6=（）A5 B6 C7 D8【考点】等差数列的通项公式【分析】由S7=21求得a4=3，结合a2=1求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案【解答】解：在等差数列an中，由S7=7a4=21，得a4=3，又a2=1，a6=a4+2d=3+22=7故选：C4已知，为不重合的两个平面，
8、直线m，那么“m”是“”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定【分析】利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项【解答】解：平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直直线m，那么“m”成立时，一定有“”成立反之，直线m，若“”不一定有“m”成立所以直线m，那么“m”是“”的充分不必要条件故选A5直线3xy=0绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到直线的方程为（）Ax+3y3=0 Bx+3y1=0 C3x
9、y3=0 Dx3y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】直线y=3x绕原点逆时针旋转90变为y=x，在根据左加右减的法则，向右平移1个单位，即得y=（x1）【解答】解：直线y=3x绕原点逆时针旋转90直线斜率互为负倒数直线y=3x变为y=x，向右平移1个单位y=（x1）即：x+3y1=0，故选：B6已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）=ln（1x），则函数f（x）的大致图象为（）A B C D【考点】函数的图象【分析】由题意可得在0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）0，从而得出结论【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=
10、ln（1x），故在0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）0，结合所给的选项，故选：C7直线ax+byab=0（a）与圆x2+y22=0的位置关系为（）A相离 B相切 C相交或相切 D相交【考点】直线与圆的位置关系【分析】判断圆心到直线的距离与半径的关系【解答】解：由已知得，圆的圆心为（0，0），半径为，圆心到直线的距离为，其中（a+b）22（a2+b2），所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交或相切；故选：C8直线a、b是异面直线，、是平面，若a，b，=c，则下列说法正确的是（）Ac至少与a、b中的一条相交 Bc至多与a、b中的一条相交Cc与a、b都相交 Dc与a、b都不相交【考点】空间中
11、直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解【解答】解：由直线a、b是异面直线，、是平面，若a，b，=c，知：对于B，c可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故B不正确；对于C，ac，bc=A，满足题意，故C不正确；对于D，c与a、b都不相交，则c与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故D不正确；对于A，由B，C、D的分析，可知A正确故选：A9已知函数f（x）=x22cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2； |x1|x2；x1|x2|，其中能使恒成立的条件个数共有（）A1个 B2个 C3个 D4个【考点】函数的值【分析】利用导数可以判定其
12、单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论【解答】解：f（x）=x22cosx，f（x）=2x+2sinx，当x=0时，f（0）=0；当x，0）时，f（x）0，函数f（x）在此区间上单调递减；当x（0，时，f（x）0，函数f（x）在此区间上单调递增函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=01=1x，都有f（x）=f（x），f（x）是偶函数根据以上结论可得：当x1x2时，则f（x1）f（x2）不成立；当x12x22时，得|x1|x2|，则f（|x1|）f（|x2|），f（x1）f（x2）恒成立；当|x1|x2时，则f（x1）=f（|x1|）f（x2）恒成立；x1|x2|时，则f（x1）f（|x2
13、|）=f（x2）恒成立综上可知：能使f（x1）f（x2）恒成立的有故选：C10已知双曲线的左焦点是F（c，0），离心率为e，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆x2+y2=c2在y轴右侧交于点P，若P在抛物线y2=2cx上，则e2=（）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQl于Q，设双曲线的右焦点为F，P（x，y），利用抛物线的定义、双曲线的渐近线以及直线平行的性质、圆的性质：直径所对的圆周角为直角即可得出所求值【解答】解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQl于Q，设双曲线的右焦点为F，P（x，y）由题意可知FF为圆x2+y2=c2
14、的直径，PFPF，且tanPFF=，|FF|=2c，满足，将代入得x2+2cxc2=0，则x=cc，即x=（1）c，（负值舍去），代入，即y=，再将y代入得， =2（1）c2，即为b2=c2a2=（1）a2，由e=，可得e2=故选：D二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分11若双曲线kx2y2=1的一个焦点的坐标是（2，0），则k=【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得双曲线的焦点在x轴上，将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，解k的方程可得所求值【解答】解：由题意可得双曲线的焦点在x轴上，可得：双曲线的标准方程为y2=1，（k0），即有a2=，b2=1，c2=1+，由
15、一个焦点的坐标是（2，0），可得1+=4，解得k=故答案为：12函数图象的对称中心的坐标为（1，1）【考点】函数的图象【分析】把原函数解析式变形得到f（x）=+1，利用因为y=对称中心为（0，0），即可求出答案【解答】解：f（x）=+1，因为y=对称中心为（0，0），所以函数f（x）的对称中心为（1，1）故答案为：（1，1）13某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是24+6【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出棱锥的直观图，根据三视图数据和棱锥的结构特征计算各个面的面积【解答】解：由三视图可知三棱锥PABC的底面ABC为直角三角形，ABBC，侧棱PA平面ABC，PA=AB=4，BC=
16、3，图形如图BC平面PAB，AC=5，PB=4，棱锥的表面积S=+=24+6故答案为24+614若直线过点（2，1），则3a+b的最小值为7+2【考点】基本不等式；直线的一般式方程【分析】由直线过点可得正数ab满足=1，整体代入可得3a+b=（3a+b）（）=7+，由基本不等式可得【解答】解：直线过点（2，1），=1，故3a+b=（3a+b）（）=7+7+2=7+2，当且仅当=即b=a时取等号，结合=1可解得a=且b=+1，故答案为：7+215已知a、b是异面直线，M为空间一点，Ma，Mb给出下列命题：存在一个平面，使得b，a；存在一个平面，使得b，a；存在一条直线l，使得Ml，la，lb；存
17、在一条直线l，使得Ml，l与a、b都相交其中真命题的序号是（请将真命题的序号全部写上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的关系求解【解答】解：a、b是异面直线，M为空间一点，Ma，Mb，知：由唯一性定理得存在一个平面，使得b，a，故正确；过b上一点作a的平行线a，b和a确定一个平面，使得b，a，故错误；由两条异面直线有且只有一条公垂直线得存在一条直线l，使得Ml，la，lb，故正确；点M分别与两直线a，b构成的两个平面的交线l，使得Ml，但l与a、b不一定都相交，故错误故答案为：三、解答题：本大题共6个小题，满分75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
18、骤16已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，3），其中A是ABC的内角（）求角A的大小；（）若ABC为锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=，b=3，求ABC的面积【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理【分析】（）运用向量垂直的条件：数量积为0，运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简整理即可得到所求角；（）运用余弦定理可得c=1或2，由锐角三角形的概念可得c=2，再由三角形的面积公式S=bcsinA，即可得到所求值【解答】解：（）向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，3），可得=2sinA（sinA+cosA）3=2sin2A+2sinAc
19、osA3=1cos2A+sin2A3=2sin（2A）2=0，即有2A=2k+，kZ，A=k+，kZ，可得A=；（）在ABC中，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，即为7=9+c23c，解得c=1或2，若c=1，则b为最大边，且cosB=0，B为钝角，不合题意；若c=2，则b为最大边，且cosB=0，B为锐角，合题意，则ABC的面积为S=bcsinA=32=17已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为圆M：x2+y24x=0的圆心，直线l与抛物线C的准线和y轴分别交于点P、Q，且P、Q的纵坐标分别为3t、2t（tR，t0）（）求抛物线C的方程；（）求证：直线l恒与圆M相切【考点】抛物线
20、的简单性质【分析】（）利用焦点为圆M：x2+y24x=0的圆心求出p值即可求出抛物线C的方程；（）先求出直线PQ的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可证明直线PQ恒与圆M相切【解答】解：（）设抛物线C的方程为y2=2px（p0），因为焦点为圆M：x2+y24x=0的圆心，所以p=4，因此抛物线C的方程为y2=8x；（）由题意可知，P（2，3t），Q（0，2t），则直线PQ方程为：y2t=x，即（t21）x+2ty4t2=0，圆心M（2，0）到直线PQ的距离=2，因此直线l恒与圆M相切18设数列an的前n项的和为（）求数列an的通项公式；（）设，数列bn的前n项的和为Tn，若对一切nN*，均
21、有，求实数m的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）利用与Sn1=（n1）2+（n1），n2作差整理可知anan1=2（n2），进而可知数列an是首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；（）通过（I）可知数列bn是首项、公比均为的等比数列，利用等比数列的求和公式可知Tn（，），解不等式即得结论【解答】解：（），Sn1=（n1）2+（n1），n2，两式相减得：an=2n，又a1=1+1=2，数列an是首项、公差均为2的等差数列，故其通项公式an=2+2（n1）=2n；（）由（I）可知=，数列bn是首项、公比均为的等比数列，故Tn=（1）（，），且m26m+，m1，且m2或m4，故1
22、m219如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C侧面AA1B1B，且AB=4AA1=4，BAA1=60，D是AB的中点（）求证：AC1平面CDB1；（）求证：DA1平面AA1C1C【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF则可利用中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，得出AFCD，从而证明AC1平面CDB1（2）求出AA1和AD的长，使用余弦定理求出A1D，由勾股定理的逆定理证出A1DAA1，由面面垂直可得出AC平面ABB1A1，进而得出ACA1D，得出DA1平面AA1C1C【解答】
23、证明：（1）连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF四边形AA1C1C是矩形，F是A1C的中点，EFA1B1，EF=A1B1，四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，ADA1B1，AD=A1B1，四边形ADEF是平行四边形，AFDE，即AC1DE又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（2）AB=4AA1=4，D是AB中点，AA1=1，AD=2，BAA1=60，A1D=AA12+A1D2=AD2，A1DAA1，侧面AA1C1C侧面AA1B1B，侧面AA1C1C侧面AA1B1B=AA1，ACAA1，AC平面AA1C1C，AC平面AA1B1B，A1D平面AA
24、1B1B，ACA1D，又AA1平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，ACAA1=A，DA1平面AA1C1C20已知椭圆，其焦点在O：x2+y2=4上，A，B是椭圆的左右顶点（）求椭圆C的方程；（）M，N分别是椭圆C和O上的动点（M，N不在y轴同侧），且直线MN与y轴垂直，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，求证：PNQN【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得焦点为（2，0），可得c=2，由点满足椭圆方程，即可得到所求方程；（）令M（m，t），N（n，t），（m0，n0），可得m2+2t2=8，n2+t2=4，设P（0，p），Q（0，q），运用三点共线，可得p，q，再由两直线垂直的条件
25、：斜率之积为1，化简整理即可得证【解答】解：（）由题意可得焦点为（2，0），可得c=2，即a2b2=4，又+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（）证明：令M（m，t），N（n，t），（m0，n0），可得m2+2t2=8，n2+t2=4，可得A（2，0），B（2，0），设P（0，p），Q（0，q），由A，M，P三点共线可得kAM=kAP，即有=，可得p=；由B，M，Q三点共线可得kBM=kBQ，即有=，可得q=由kPNkQN=，由m2+2t2=8，n2+t2=4，可得m28=2t2，n2=4t2，m2=2（4t2），即为m2=2n2，可得=1，即有PNQN21已知函数f（x）=x
26、axlnx，aR（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）设，若函数g（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（）若，使得成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）=a+在（1，+）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（）通过分析，问题等价于：“当xe，e2时，有gmax（x）”，结合（）及g（x），分a、a0、0a三种情况讨论即可【解答】解：（）a=1时，f（x）=xxlnx，f（x）=lnx，令
27、f（x）0，解得：0x1，令f（x）0，解得：x1，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减；（）由已知得g（x）=ax，函数的定义域为（0，1）（1，+），g（x）在（1，+）上为减函数，g（x）=a+0在（1，+）上恒成立，a=（）2，令h（x）=（）2，故当=，即x=e2时，h（x）的最小值为，a，即a；最小值为；（）若，使得成立，结合（）得：问题等价于：“当xe，e2时，有gmax（x）”，g（x）=a+，由（）知0，当a时，g（x）0在e，e2上恒成立，因此f（x）在e，e2上为减函数，则fmax（x）=g（e）=eae，故a1；当a0时，g（x）0在e，e2上恒成立，因此g（x）在e，e2上为增函数，则gmax（x）=g（e2）=ae2+，解得：a，不合题意；当0a时，由g（x）在e，e2上为增函数，故g（x） 的值域为g（e），g（e2），即a，a由g（x）的单调性和值域知，存在唯一x0（e，e2），使g（x0）=0，且满足：当x（e，x0），时，g（x）0，此时g（x）为减函数；当x（x0，e2），时，g（x）0，此时g（x）为增函数；所以，gmax（x）=maxg（e）或g（e2）与0a矛盾，不合题意综上所述，得a2016年7月7日
