1、高考大题专项(三)数列高考大题专项练第7页1.(2019北京,文16)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列an的前n项和为Sn,求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以当n7时,an0;当n6时,an0.所以S
2、n的最小值为S6=-30.2.(2018全国3,文17)在等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,若Sm=63,求m.解(1)设数列an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上可得m=6.3.(2019四川内江二模,17)若数列an的前n项和为Sn,且
3、a1=1,a2=2.(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2.(1)求Sn;(2)记数列1an的前n项和为Tn,证明:1Tn2.(1)解由题意有Sn+2+1Sn+1+1=Sn+1+1Sn+1=S2+1S1+1,所以数列Sn+1是等比数列.又S1+1=a1+1=2,S2+1=a1+a2+1=4,所以S2+1S1+1=2,数列Sn+1是首项为2,公比为2的等比数列.所以Sn+1=22n-1=2n,所以Sn=2n-1.(2)证明由(1)知,n2时,Sn=2n-1,Sn-1=2n-1-1,两式相减得an=2n-1.n=1时,a1=1也满足an=2n-1,所以数列an的通项公式为an=2n-1(
4、nN+).所以1an=12n-1(nN+).所以Tn=1a1+1a2+1an=1+12+14+12n-1=1-(12)n1-12=2-12n-1.因为nN+,所以012n-11,所以-1-12n-10.所以12-12n-12.4.设数列an满足a1=2,an+1-an=322n-1.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知an+1-an=322n-1,所以an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-3+2)+2=22n-1.当n=1时,a1=2也满足上式,所以数列an的通项公式an=22n-1.(2)由bn=nan=n22n-1
5、知,Sn=12+223+325+n22n-1.22Sn=123+225+327+n22n+1.-得(1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1.即Sn=19(3n-1)22n+1+2.5.(2019江西上饶市二模,17)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=3Sn+1(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)记Tn为数列nan的前n项和,求Tn.解(1)由题意,an+1=3Sn+1,则当n2时,an=3Sn-1+1.两式相减得an+1=4an(n2).又因为a1=1,a2=4,a2a1=4,所以数列an是以首项为1,公比为4的等比数列,所以数列an的通项公式是a
6、n=4n-1(nN+).(2)由(1)知an=4n-1,所以nan=n4n-1,所以Tn=a1+2a2+3a3+nan=1+24+342+n4n-1,所以4Tn=41+242+343+(n-1)4n-1+n4n,两式相减得-3Tn=1+4+42+4n-1-n4n=1-4n1-4-n4n,整理得,Tn=3n-194n+19(nN+).6.(2019湖南长郡中学适应考试一,17)设正项数列an的前n项和Sn,且2Sn是an与an+1的等比中项,其中nN+.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(-1)n+12an+1anan+1,记数列bn的前n项和为Tn,求证:T2n0,an-an-1=1(
7、n2),即数列an是首项为1,公差为1的等差数列.an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(2)证明bn=(-1)n+12n+1n(n+1)=(-1)n+11n+1n+1,T2n=b1+b2+b3-+b2n=1+12-12+13+13+14-+12n-1+12n-12n+12n+1=1-12n+11,T2n1.7.已知数列an中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n2且nN+).(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数,使得数列an+2n为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)a1=5,a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.(2)解法一假设
8、存在实数,使得数列an+2n为等差数列.设bn=an+2n,由bn为等差数列,则有2b2=b1+b3.2a2+22=a1+2+a3+23.13+2=5+2+33+8.解得=-1.事实上,bn+1-bn=an+1-12n+1-an-12n=12n+1(an+1-2an)+1=12n+1(2n+1-1)+1=1.综上可知,存在实数=-1,使得数列an+2n为首项是2,公差是1的等差数列.解法二假设存在实数,使得数列an+2n为等差数列.设bn=an+2n,由bn为等差数列,则有2bn+1=bn+bn+2(nN+).2an+1+2n+1=an+2n+an+2+2n+2.=4an+1-4an-an+2
9、=2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)=2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1.综上可知,当=-1时,数列an+2n为首项是2,公差是1的等差数列.8.(2019天津,文18)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=1,n为奇数,bn2,n为偶数,求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN+).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意,得3q=3+2d,3q2=15+4d.解得d=3,q=3,故an=3+3(n-1)=3n,bn=33n-1=3n
10、.所以an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n.(2)a1c1+a2c2+a2nc2n=(a1+a3+a5+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+a2nbn)=n3+n(n-1)26+(631+1232+1833+6n3n)=3n2+6(131+232+n3n).记Tn=131+232+n3n,则3Tn=132+233+n3n+1,-得,2Tn=-3-32-33-3n+n3n+1=-3(1-3n)1-3+n3n+1=(2n-1)3n+1+32.所以a1c1+a2c2+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3(2n-1)3n+1+32=(2n-1)3n+2+6n2+92(nN+).
