1、滚动测试卷四(第一九章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第13页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合M=x12x1,N=x|y=lg(x+2),则MN等于() A.0,+)B.(-2,0C.(-2,+)D.(-,-2)0,+)答案:B解析:因为集合M=x12x1=x12x120,所以M=x|x0,N=x|y=lg(x+2)=x|x-2,所以MN=x|x0x|x-2=x|-20的否定是()A.任意xR,x20B.存在xR,x20C.存在xR,x20的否定是:存在xR,x20.3.将函数f(x)=sin2x+6的图像向右平移6个单位,那么所得的图像对应的函数解析
2、式是()A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sin2x+23D.y=sin2x-6答案:D解析:f(x)=sin2x+6,将函数f(x)=sin2x+6的图像向右平移6个单位,得fx-6=sin2x-6+6=sin2x-6,所得的图像对应的函数解析式是y=sin2x-6.4.已知函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,当x0时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图像是()答案:A解析:因为函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,所以函数是奇函数,排除C,D.当x=e时,f(10)=1-e+1=2-e0,b0)的一
3、条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1答案:A解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,-ba=-12,c=5,a2+b2=c2.解得a=25,b=5,双曲线方程为x220-y25=1.8.如图,在ABC中,点D在AC上,ABBD,BC=33,BD=5,sinABC=33,则CD的长为()A.14B.22C.25D.5答案:B解析:由题意可得sinABC=3
4、3=sin2+CBD=cosCBD,再根据余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=27+25-233533=22,可得CD=22.9.过P(2,0)的直线l被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的弦长为2时,直线的斜率为()A.24B.22C.1D.33导学号92950983答案:A解析:(方法一)设直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0.圆心为C(2,3),半径r=3,圆心到直线的距离d=|2k-3-2k|k2+1=3k2+1.由题意得2=2r2-d2,即32-9k2+1=1,解得k=24.(方法二)如图,圆心C(2,3),半径3,取弦PA的中
5、点D,PD=1,则CD=22,tanPCD=122=24.由对称性知所求直线斜率为24.10.已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+2=0,在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1,P到l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.23-2B.22C.22-2D.22+2答案:C解析:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线x-y+2=0的垂线,此时d1+d2最小.F(2,0),d1+d2=|2-0+2|2-2=22-2.11.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是()A.1B.164C.1或164D.1或-164
6、导学号92950984答案:C解析:设过O(0,0)与f(x)相切的切点为P(x0,y0),则y0=x03-3x02+2x0,且k=f(x0)=3x02-6x0+2.又k=y0x0=x02-3x0+2,由,联立,得x0=32或x0=0,所以k=-14或2.所求切线l的方程为y=-14x或y=2x.直线l与曲线y=x2+a相切,当切线为y=2x时,联立方程可得x2+a-2x=0满足=4-4a=0,a=1.当切线为y=-14x时,可得y=-14x,y=x2+a,得x2+14x+a=0.依题意,=116-4a=0.a=164.综上,a=1或a=164.故选C.12.设等差数列an的前n项和为Sn,若
7、a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于()A.9B.8C.7D.6答案:C解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2=-11,a5+a9=-2,得a1+d=-11,a1+6d=-1,解得a1=-13,d=2.an=-15+2n.由an=-15+2n0,解得n152.当Sn取最小值时,n等于7.二、填空题(本大题共4题,每小题5分,共20分)13.(2015辽宁锦州二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的倾斜角为60的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则|AF|BF|的值等于.答案:3解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12
8、=2px1,y22=2px2,|AB|=x1+x2+p=2psin2=83p,即有x1+x2=53p,由直线l的倾斜角为60,则直线l的方程为y-0=3x-p2,即y=3x-32p,联立抛物线方程,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,则x1x2=p24,可得x1=32p,x2=16p.则|AF|BF|=32p+12p12p+16p=3.14.若变量x,y满足约束条件x+y-20,3x-2y-60,yk,且z=x+3y的最小值为4,则k=.导学号92950985答案:1解析:由z=x+3y,得y=-13x+z3,画出不等式对应的可行域,平移直线y=-13x+z3,由平移可知当直线y=
9、-13x+z3经过点B时,直线y=-13x+z3的截距最小,此时z取得最小值为4,即x+3y=4,由x+3y=4,x+y-2=0,解得x=1,y=1,即B(1,1),点B同时也在直线y=k上,则k=1.15.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,双曲线的一个焦点在l上,则双曲线的方程为.答案:x25-y220=1解析:双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=5,即焦点坐标为(5,0),c=5.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,ba=2.c2=a2+b2,a2=5,b2=20.双曲线的方
10、程为x25-y220=1.16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且S1S2=169,则V1V2的值为.答案:43解析:设两个圆柱的底面半径分别为R,r,高分别为H,h,S1S2=169,Rr=43,它们的侧面积相等,2RH2rh=1,Hh=34,V1V2=R2Hr2h=43234=43.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=sin2wx-6-4sin2wx+2(w0),其图像与x轴相邻两个交点的距离为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图像向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰
11、好经过点-3,0,求当m取得最小值时,g(x)在-6,712上的单调增区间.解:(1)函数f(x)=sin2wx-6-4sin2wx+2(w0)=32sin 2wx-12cos 2wx-41-cos2x2+2=32sin 2wx+32cos 2wx=3sin2wx+3,根据图像与x轴相邻两个交点的距离为2,可得函数的最小正周期为22=22,求得=1,故函数f(x)=3sin2x+3.(2)将f(x)的图像向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)=3sin2(x+m)+3=3sin2x+2m+3的图像,再根据g(x)的图像恰好经过点-3,0,可得sin2m-3=0,故m=6,所以g(x)=3
12、sin2x+23.令2k-22x+232k+2,kZ,求得k-712xk-12,kZ,故函数g(x)的增区间为k-712,k-12,kZ.再结合x-6,712,可得增区间为-6,-12,512,712.18.(12分)(2015江西赣州高三摸底考试,理18)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD平面ABCD,PDPB,PA=PD.(1)求证:平面PCD平面PAB;(2)设E是棱AB的中点,PEC=90,AB=2,求二面角E-PC-B的余弦值.解:(1)证明:因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,ABAD,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以PDAB,又
13、PDPB,ABPB=B,所以PD平面PAB,而PD平面PCD,故平面PCD平面PAB.(2)如图,建立空间直角坐标系.设AD=2a,则A(a,0,0),D(-a,0,0),B(a,2,0),C(-a,2,0),P(0,0,a),E(a,1,0).EP=(-a,-1,a),EC=(-2a,1,0),则EPEC=0得a=22,CE=(2,-1,0),EP=-22,-1,22.设平面PEC的法向量n1=(x1,y1,z1),由n1CE=0,n1EP=0得2x1-y1=0,x1+2y1-z1=0.令x1=1,则n1=(1,2,3).CB=(2,0,0),CP=22,-2,22,设平面PCB的法向量n2
14、=(x2,y2,z2),由n2BC=0,n2CP=0得x2=0,x2-22y2+z2=0.令y2=1,则n2=(0,1,22).设二面角E-PC-B的大小为,则cos =|cos|=|n1n2|n1|n2|=7618,故二面角E-PC-B的余弦值为7618.19.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为23,长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆的标准方程;(2)斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,其中A点为椭圆的左顶点,若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内,求实数k的取值范围.解:(1)根据题意,得ab=2,c=3,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.椭圆的标准方程为
15、x24+y2=1.(2)由(1)及题意,知顶点A为(-2,0),直线l的方程为y=k(x+2),与椭圆方程联立,得y=k(x+2),x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0;设点B为(x0,y0),则x0-2=-16k21+4k2,x0=2-8k21+4k2,y0=4k1+4k2.又椭圆的上顶点P在以AB为直径的圆内,APB为钝角,即PAPB0.P(0,1),A(-2,0),B2-8k21+4k2,4k1+4k2,PA=(-2,-1),PB=2-8k21+4k2,-4k2+4k-11+4k2.16k2-41+4k2+4k2-4k+11+4k20,即20k
16、2-4k-30,S3=b5+1=7,a1+a1q+a1q2=7,b4是a2和a4的等比中项,b42=a2a4=a32=16,解得a3=a1q2=4,由得3q2-4q-4=0,解得q=2,或q=-23(舍),a1=1,an=2n-1.(2)当n为偶数时,Tn=(1+1)20+22+(3+1)22+423+(5+1)24+(n-1)+12n-2+n2n-1=(20+22+322+423+n2n-1)+(20+22+2n-2),设Hn=20+22+322+423+n2n-1,2Hn=2+222+323+424+n2n,-,得-Hn=20+2+22+23+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=(1
17、-n)2n-1,Hn=(n-1)2n+1,Tn=(n-1)2n+1+1-4n21-4=n-232n+23.当n为奇数,且n3时,Tn=Tn-1+(n+1)2n-1=n-532n-1+23+(n+1)2n-1=2n-232n-1+23,经检验,T1=2符合上式,Tn=2n-232n-1+23,n为奇数,n-232n+23,n为偶数.导学号9295098621.(12分)已知点M是圆心为C1的圆(x-1)2+y2=8上的动点,点C2(-1,0),若线段MC2的中垂线交MC1于点N.(1)求动点N的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+t是圆x2+y2=1的切线且l与点N的轨迹交于不同的两点P,Q,O
18、为坐标原点,若OPOQ=,且2345,求OPQ面积的取值范围.解:(1)由已知得|MN|=|NC2|,则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=22|C1C2|=2,故动点N的轨迹是以C1,C2为焦点,以22为长轴长的椭圆,a=2,c=1,b2=1,动点N的轨迹方程为x22+y2=1.(2)直线l:y=kx+t是圆x2+y2=1的切线,|t|1+k2=1,t2=k2+1.直线l:y=kx+t代入椭圆方程可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=16k2-8t2+8=8k20可得k0.x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+
19、2k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=t2-2k21+2k2,t2=k2+1,x1x2=2k21+2k2,y1y2=1-k21+2k2,OPOQ=x1x2+y1y2=1+k21+2k2,2345,231+k21+2k245,13k21,|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(k4+k2)4(k4+k2)+1.令=k4+k2,13k21,49,2.|PQ|=224+1=212-12(4+1)在49,2上单调递增,425|PQ|43.直线PQ是圆x2+y2=1的切线,O到PQ的距离为1,SOPQ=12|PQ|,即22512|PQ|23.故OPQ面积的取值范围是225,23.
20、导学号9295098722.(12分)已知函数f(x)=x-1x-aln x,(1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;(2)设g(x)=x+1x-(ln x)2,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值;(3)证明:i=1n12i(2i+1)ln2n+12n+1(nN+).(1)解:求导可得f(x)=x2-ax+1x2,函数f(x)无极值,方程x2-ax+1=0在(0,+)上无根或有唯一根,方程a=x+1x在(0,+)上无根或有唯一根,又x+1x2(x=1取等号),故x+1xmin=2,a2.(2)解:a=2时,f(x)=x-1x-2ln x,g(x)=x+1x-(ln x)2,由(1)
21、知,f(x)在(0,+)上是增函数,当x(0,1)时,f(x)=x-1x-2ln xf(1)=0,即x-1x2ln xf(1)=0,即x-1x2ln x0;x0时,x-1x|2ln x|=|ln x2|,令x2=t0,t-1t|ln t|,平方得t+1t-2(ln t)2,t0时,t+1t-2(ln t)2成立,当且仅当t=1时取等号,当x=1时,函数g(x)取最小值2.(3)证明:由上知,x1时,x+1x-(ln x)22,x1时,x-1xln x成立,令x=2n+12n,得2n+12n-2n2n+1ln2n+12n,即12n(2n+1)ln2n+12n,不等式:i=1n12i(2i+1)ln21+121+ln2n+12nln21+221+1+ln2n+22n+1=ln2n20+121+12n-1+12n+1=ln2n+12n+1.即i=1n12i(2i+1)ln2n+12n+1(nN+). 导学号929509888
