1、5.7 三角函数的应用 现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用.)0,0()sin(AxAy正弦型函数 1.物理情景 简谐运动 星体的环绕运动 2.地理情景 气温变化规律 月圆与月缺 3.心理、生理现象 情绪的波动 智力变化状况 体力变化状况 4.日常生活现象 涨潮与退潮 股票变化 1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法及学会根据解析式作出图象;(重点、难点）2.体验实际问题抽象为三角函数模型
2、问题的过程；(重点）3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 1.数学建模2.数学抽象与数学运算128微课1 根据图象建立三角函数关系例1.如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数 yA s in(x)b.T/102030Ot/h61014（1）求这一天614时的最大温差.（2）写出这段曲线的函数解析式.【解析】（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20.（2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数y=Asin(x+)+b的半个周期的图象，所以 1A(30 10)10,21(30 10)20,2b 1 2146 .82 因为，所以因为点（6，10）是五点法作图中的第四点
3、，故 336,.248 解得故所求函数解析式为3y10sin(x)20 x6,14.84，一般地,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时 段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.【方法规律】maxmin1,2Af xf x maxmin12，bf xf x2利用求得，T利用图象的最高点或最低点，即点的坐标满足函数解析式可求得，注意通常|.电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I5sin100t3，则当 t 1200 s时，电流强度 I为()A5 A B2.5 A C2 A D5 AB【变式练习】【互动探究】弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随
4、时间 t(s)的变化曲线(如图所示)是一个三角函数的图象(1)经过多长时间，小球往复振动一次？(2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？【解析】(1)由题图可知，周期 T2712 12.所以小球往复振动一次所需要的时间为 3.14s.(2)由图可设该曲线的函数解析式为：sAsin(t)，t0，)从图中可以看出 A4，又2，2，从而 s4sin(2t)将 t 12，s4 代入上式，得sin6 1，3.故所求函数的解析式为s4sin2t3，t0，)(3)当 t0 时，s4sin32 3(cm)故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm.【解析】函数图
5、象如图所示从图中可以看出，函数 是以为周期的波浪形曲线.xysiny|sinx|x y-2-222O1-1 微课2 根据解析式模型建立图象模型例2.画出函数y|sinx|的图象并观察其周期.由于,sinsin)sin(xxx 所以，函数 是以为周期的函数.xysin我们也可以这样进行验证：利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,这是研究数学问题的常用方法.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin(6 x+)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10 C【变式练习】例3.如图，设地球表面某地正午
6、太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 90|.当地夏半年 取正值，冬半年 取负值.太阳光微课3 将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型【解析】如图，A，B，C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-2326，依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有C=90-|40-(-2326)|=2634，所以000hhMC2.000 h.tan Ctan 26 34 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于前楼高两倍的间距.将
7、实际问题抽象为三角函数模型的一般步骤:理解题意建立三角函数模型求解还原解答已知 A,B,C 是ABC 的三个内角,且 sinAsinB sinC,则()A.ABC B.AB 2 D.B+C 2 A【变式练习】例4.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00
8、7.5 24:00 5.0（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001）（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？解：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.根据图象，可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：s in(
9、)yAxhA=2.5,h=5,T=12,=0;2T12由 ,得.6 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：2.5 sin5.6yx由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.750 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00
10、23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5（米），所以 当y5.5时就可以进港.令 化简得 2.5 sin55.56，xsin0.26，x由计算器计算可得 0.201 4,0.201 4.66或xx解得 0.3 8 4 6,5.6 1 5 4，ABxx因为 ，所以由函数周期性易得 0,2 4 x 120.384 612.384 6,125.615 417.615 4.CDxx 因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出
11、港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.（3）设在时刻x货船的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2)(x2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在67时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果，在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米，因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将货船驶向较深的水域.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系
12、式为 s6sin(2t6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2 s B sC0.5 s D1 s D【变式练习】解析：本题已给出了单摆离开平衡位置 O 的距离 s cm和时间 t s 的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期又 2，所以 T2 1.解决实际问题的步骤:实际问题读懂问题抽象慨括数学建模推理演算数学模型的解还原说明实际问题的解读懂概念丶字母读出相关制约.在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个明确的数学关系.审题关键1电流强度 I(安培)随时间 t(秒)变化的函数I=Asin(t+)的图象如图所示，则当 t=7120 秒时的电流强度 ()A.0 B.10
13、 C.-10 D.5 A 2.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数 F（t）=50+4sint2 (其中 0t20)给出，F（t）的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A.0,5 B.5,10 C.10,15 D.15,20 C 3.函数 f(x)sinx43 的一条对称轴方程为()Ax3 Bx6Cx2Dx23B 4.(2016全国卷)函数y=Asin(x+)的部分图象 如图所示,则()A.y=2sin2x-6 B.y=2sin2x-3 C.y=2sinx+6 D.y=2sinx+3 A5.若函数f(x)=
14、sinx+2|sinx|，x0,2的 图象与直线y=k有且只有两个不同的交点，则k的 取值范围是 _.解:3sin,0,()sin,2.x xf xx x，其图象如图所示，若有两个交点，则1k3.1k3 6.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t（其中0t 24，单位：小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(小时)0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acost+b，根据以上数据，函数的解析式为 _ _.1A+b=1.5,-A+b=0.5,A=,b=1,221T=12,=,y=cost+1.:T626因为所以又因为所以从而解1y=cos t+126 不辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东方皆落后，亚洲崛起有黄人.吴玉章
