1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2简单的三角恒等变换Q 变换是生活中的常态，换一个环境，换一种心情，换一个角度，或许就柳暗花明又一村了，我们经常看到的魔术更是如此可见，变换已深入到我们生活中的每一个角落在前面几节的学习中，我们已经领略了三角变换的风采，那么，对于前面学习的和角公式，通过对各公式做加减运算，又能得到什么样的变换呢？X 1半角公式(不要求记忆)sin，cos_，tan_.符号由所在的象限决定2常见的三角恒等变换(1)asinxbcosx_sin(x)(ab0)，其中tan，所在象限由a和b的符号确定仅仅讨论1，的情况(2)sin2x，cos2x_，sinxcosx_sin2x_
2、.知识点拨(1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos的值及相应的条件，sin，cos，tan便可求出(3)由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2和cos2.拓展(1)积化和差公式(不要求记忆和应用)sincossin()sin()，cossinsin()sin()，coscoscos()cos()，sinsincos()cos()(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)sinxsiny2si
3、ncos，sinxsiny2cossin，cosxcosy2coscos，cosxcosy2sinsin.Y 1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”(1)sin.()(2)cos20.()(3)tan()(4)sin4cos42sin(4)()2已知180360，由cos的值等于(C)ABCD3已知cos，则sin等于(B)ABCD解析，sin.4sinxcosx等于(C)Asin2xBsinCsinDsin解析原式sin.H 命题方向1应用半角公式求值典例1已知sin，且3，求sin，cos，tan.思路分析已知条件中的角与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值
4、解析sin，3，cos.，sin，cos，tan2.规律总结已知的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可跟踪练习1设2，cos，求(1)sin的值；(2)cos的值；(3)sin2的值解析(1)2，又cos，sin，sin2sincos2().(2)cos2cos212()21.(3)sin2.命题方向2三角恒等式的化简与证明典例2求证tantan.思路分析可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x，2x，从消除等式两边角的差异入手考虑证明证法一：tant
5、an.证法二：tantan.规律总结化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式了的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等跟踪练习2求证：sin2.证明证法一左边sincoscossincossin2右边原式成立证法二左边sincossin2右边原式成立证法三：左边cos2cos2tancossinsin2右边原式成立X 辅助角公式的应用 典例3将下列各式化为yAsin(x)k的形式：(1)y
6、3sinxcosx；(2)ycos2x(sin2xcos2x)；(3)ysin()sin.思路分析利用三角函数公式将函数解析式化为asinxbcosx的形式，再利用辅助角公式化为yAsin(x)k的形式解析(1)y3sinxcosx2(sinxcosx)2(sinxcoscosxsin)2sin(x)(2)ycos2x(sin2xcos2x)sin2xcos2xcos22xsin4xsin4xcos4x(sin4xcos4x)(sin4xcoscos4xsin)sin(4x).(3)ysin()sinsincoscossinsinsincos(sincos)sin()规律总结将三角函数yf(x
7、)化为f(x)Asin(x)m的步骤(1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x)，cos(x)运用两角和与差的公式展开(2)将(1)中得到的式子利用asinbcossin()化为f(x)Asin(x)m的形式跟踪练习3化简下列三角函数解析式为yAsin(x)的形式：(1)ycos4x2sinxcosxsin4x；(2)ysinx(cosxsinx).解析(1)ycos4x2sinxcosxsin4x(cos4xsin4x)2sinxcosx(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)2sinxcosxcos2xsin2xsin.(
8、2)ysinx(cosxsinx)sinxcosxsin2xsin2xsin2xcos2xsin.Y 应用半角公式求值时错用公式 典例4设34，cosm，那么cos等于()ABCD错解选A或选C错因分析将余弦降幂公式错记为正弦降幂公式导致错选C；或忽略对角范围的讨论导致符号错误错选A正解B由于cos2cos21，可得cos2.又34，所以.所以cos0.所以cos.误区警示正确运用半角公式求解问题的两个注意点：(1)熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提(2)应用半角公式求值时，要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数值的符号跟踪练习4已知sin，3，则tan_3_.解析根据角的范围，求出cos后代入公式计算，即由sin，3，得cos，从而tan3.K 1下列各式与tan相等的是(D)ABCD解析tan.2设3，则化简的结果是(C)AsinBcosCcosDsin解析3，cos0，原式|cos|cos.3设acos6sin6，b2sin13cos13，c，则有(C)AcbaBabcCacbDbcca.故选C4已知tan()2，则的值为(A)ABCD解析tantan()，原式tan，故选A- 9 - 版权所有高考资源网
