1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式Q 在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？X 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表三角函数公式简记正弦sin2_2sincos_S()S2余弦cos2cos2sin2_2cos21_12sin2_C()C2正切tan2_T()T2知识点拨1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如
2、2是的二倍角，4是2的二倍角，8是4的二倍角，是的二倍角这里的蓄含着换元思想这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的2公式的适用条件：在S2，C2中，R，在T2中，且k(kZ)，当k(kZ)时，tan不存在，求tan2的值可采用诱导公式3二倍角公式的逆用、变形用(1)逆用形式：2sincossin2；sincossin2；cos；cos2sin22cos2112sin2cos2；tan2.(2)变形用形式：1sin2sin2cos22sincos(sincos)2；1cos22cos2；1cos22sin2；cos2；sin2.Y 1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打
3、“”，错误的打“”(1)对任意的角总有sin22sin.()(2)不存在角，使得cos22cos.()(3)公式tan2成立的条件是k，kZ.()(4)对于任意角，都有sin2sincos.()(5)若tan2，则tan2.()2已知sin，cos，则sin2等于(D)ABCD解析sin22sincos.3已知cos，则cos2等于(C)ABCD解析cos22cos211.4若tan，则tan2(A)ABCD解析tan2.5cos2sin2_.解析由二倍角公式，得cos2sin2cos(2).H 命题方向1利用二倍角公式解决给角求值问题典例1求下列各式的值：(1)sincos；(2)12sin
4、2750；(3)；(4)；(5)cos20cos40cos80.思路分析解析(1)原式.(2)原式cos(2750)cos1500cos(436060)cos60.(3)原式tan(2150)tan300tan(36060)tan60.(4)原式4.(5)原式.规律总结对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式跟踪练习1求下列各三角函数
5、式的值：(1)cos72cos36；(2).解析(1)原式cos36cos72.(2)原式4.X 二倍角公式的变形应用 典例2(1)化简：2；(2)设(，2)，化简：.思路分析(1)1sin8sin242sin4cos4cos24(sin4cos4)2,2(1cos8)4cos24.(2)连续运用公式：1cos22cos2.解析(1)原式22|sin4cos4|2|cos4|.因为4(，)，所以sin40，cos40，cos0.故原式|cos|cos.规律总结二倍角公式的变形应用(1)公式的逆用、变形用十分重要特别是1cos22cos2，1cos22sin2形式相似极易出错应用时要加强“目标意
6、识”(2)公式变形的主要形式有1sin2sin2cos22sincos(sincos)2,1cos22cos2，1cos22sin2，cos2，sin2.跟踪练习2化简cos2(15)sin2(15)sin(180)cos(180)解析原式sin21cos(230)cos(230)sin21(cos2cos30sin2sin30cos2cos30sin2sin30)sin21(sin2sin30)sin21.Y 典例3已知是第二象限角，化简.错解原式sincossincos2sin.错因分析在去根号时，对sincos的符号未加以讨论，导致化简错误正解原式|sincos|sincos|.因为是第二象限角，即2k2k，kZ，所以kk，kZ，所以原式误区警示盲目地运用公式化简函数的解析式，而忽略定义域，是解决与三角函数有关问题的易错点，要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法，这在第一章中已经详细介绍，此处不再赘述跟踪练习3化简：(23)解析23，cos.又(cossin)21sin21，cossin.- 7 - 版权所有高考资源网
