1、数学专题二 数列、函数与方程【考点精要】考点一. 等差、等比数列的定义。等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前n项和。则数列为等差数的充要条件是c=0”；在等差数列中,是等差数列。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注。如是等比数列，则就不一定是等比数列。考点二. 数列的递推关系。解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行交换。把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理。转化的常用方法有：(1)待定系数法。如可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列。(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为。(3
2、)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、不能出错考点三. 数列与分段函数。通过考查分段函数进而明晰数列n在不同的范围内赋予不同的意义。如：数列中， 求。考点四. 数列的通项公式以及前n项和。数列的通项公式以及前n项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性。高考中诸多题目均能涉及。如：设为公比q1的等比数列，若和是方程的两根，则_. 考点五. 函数、导数、方程、数列的综合应用。以函数、导数、方程、数列等知识为载体，考查学生综合运用观察、归纳、猜想、证明等分析问题、
3、解决问题的能力，考查学生对函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等思想的运用。考点六等差数列前n项和最值的求法： ；利用二次函数的图象与性质。巧点妙拨1根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 掌握数列通项与前n项和之间的关系。2根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和等。3以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用4. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的
4、一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。5. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。6. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。【典题对应】一、等差、等比数列的概念与性质例1. （2008深圳模拟）已知数列的前n项和 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和。解：（1）当；、 当，、 （2）令 当； 当 综上，二、求数列的通项与求和例2(2011山东理20) 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在
5、下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.命题意图：主要考察分类讨论的思想及数列求和的方法。解析：（）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故 （）因为所以 所以、当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。三、数列与不等式的联系例3.（湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足且。又已知成等差数列。（1）求数列的通项； （2）令，求证：对于任意，都有。命题意图：主要考察
6、数列与不等式的结合。解析：（1）解： 且 。 （2）证明： ， 名师坐堂：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。四、数列与函数、概率等的联系例4. (2008福建理) 已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.命题意图：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.（）证明：因为所以
7、(x)=x2+2x, 由点 (nN*)在函数y=f(x)的图象上，又所以所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上.（）解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.名师坐堂: 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题。例5 .（江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）AB C D 命题意图：主要考察数列与概率的结合。解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个
8、；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B。名师坐堂：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。【授之以渔】1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，主要加大了对“递推公式”的考查。2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问
9、题解决问题的能力有较高的要求.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。数列与程序框图的综合题应引起高度重视。3. 在题型设计方面、选择题和填空题主要考查数列的概念“巧用性质、减少运算量”在等差、
10、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。等差与等比数列的基础知识与基本技能，突出“小、巧、活”的特点；解答题常把数列、函数、不等式等知识结合在知识交汇处命题综合考查应用意识、推理能力和数学思想方法。【直击高考】1. 如果数列满足，且(2)，则第10项等于( )A. B. C. D.2. 若数列满足，则等于( )A1B2 C D3. 等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于( )A B12 C D64. 将数列按第n组有n个数的规则分组如下：（1），
11、（3,9），（27,81,243），则第100组中的第一个数是( )A BC D5. 数列的首项为， 为等差数列且 .若则，则( )A0 B3 C8 D116.九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升7.设平面内有n条直线（n2），其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f(2)= ，f(3)= ，f(4)= ，当n4时，f(n)= .8. 已知函数图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）.（）问是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理
12、由； （）若。9. 已知数列an和bn满足a1=b1，且对任意nN*都有an+bn=1，.求数列an和bn的通项公式。数学专题二 数列、函数与方程【直击高考】1. 解析：由得：，所以为等差数列，故应选D.2. 解析：由已知得：，所以数列是一个周期数列，故应选B.3.解析：因为，所以选D.4解析：A 由“第n人数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有个，故第100组中的第1个数是。5.解析：由已知知由叠加法既得.选B。6. 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.7.解析：由画图可知f(2)=4,f(3)=7,f(4)=11,f(n)=f(n-1)+n,即f(n)=n+(n-1)+(n-2)+3+f(n)=。8. 解析：（）是定值，等于1。由已知可得，P是MN的中点，有x1 + x2 = 1. （）解：由（）知当相加得9. 解析：对任意nN*都有an+bn=1，.，即. 数列是首项为，公差为1的等差数列。a1=b1，且an+bn=1，.由(1)知， 。
