1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。大题专项强化练 八立体几何(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA底面ABCD,E,F分别为AB,PC的中点.(1)求证:EF平面PAD.(2)若PA=2,试问在线段EF上是否存在点Q,使得二面角Q-AP-D的余弦值为?若存在,确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)取PD中点M,连接MF,MA,在PCD中,F为PC的中点,所以MFDC,正方形ABCD中E为AB中点,所以AEDC,所以AEM
2、F,故四边形EFMA为平行四边形,所以EFAM,又因为EF平面PAD,AM平面PAD,所以EF平面PAD.(2)满足条件的Q存在,是EF中点.理由如下:以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E,F,由题易知平面PAD的一个法向量为n= (0,1,0),假设存在Q满足条件:设=,因为=,所以Q,=,0,1,设平面PAQ的法向量为m=(x,y,z),由,可得m=(1,-,0),所以cos=所以=,解得:=,所以满足条件的Q存在,是EF的中点.2.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1
3、=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN平面ABCD.(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值.(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.【解题提示】以A为原点建立空间直角坐标系.(1)求出直线MN的方向向量与平面ABCD的法向量,两个向量的乘积等于0即可.(2)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.(3)设=,代入线面角公式计算可解出的值,即可求出A1E的长.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(
4、0,1,2),D1(1,-2,2).(1)因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1),所以=.依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0),=(0,1,2).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).于是sin=.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)设直线NE与平面ABCD所成角为,依题意,可设
5、=,其中,则E,从而=.又n=为平面ABCD的一个法向量,由已知,得sin=| cos|=,整理得2+4-3=0,又因为,解得=-2.所以,线段A1E的长为-2.【加固训练】在如图1所示的等腰梯形ABCD中,ABCD,且AB=AD=BC=CD=a,E为CD中点.若沿AE将三角形DAE折起,使平面DAE平面ABCE,连接DB,DC,得到如图2所示的几何体DABCE,在图2中解答以下问题:(1)设F为AB中点,求证:DFAC;(2)求二面角A-BD-C的正弦值.【解析】(1)取AE中点H,连接HF,连接EB,因为DAE为等边三角形,所以DHAE,因为平面DAE平面ABCE,平面DAE平面ABCE=
6、AE,所以DH平面ABCE,因为AC平面ABCE,所以ACDH,因为ABCE为平行四边形,CE=BC=a,所以ABCE为菱形,所以ACBE,因为H,F分别为AE,AB中点,所以HFBE,所以ACHF,因为HF平面DHF,DH平面DHF,且HFDH=H,所以AC平面DHF,又DF平面DHF,所以DFAC. (2)连接BH,由题意得三角形ABE为等边三角形,所以BHAE,由(1)知DH底面ABCE,以H为原点,分别以HA,HB,HD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则A,B,D,C,所以=,=(-a,0,0).设平面DCB的法向量为m=(x,y,z),则不妨设m=(0,1,1),设平面DAB的法向量n=(x,y,z),又=,=,则取n=,所以二面角A-BD-C的正弦值为.关闭Word文档返回原板块
