1、第5讲古典概型1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)2古典概型(1)特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性(2)概率公式：P(A)做一做1(2014高考广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为_解析：总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为.答案：2(2014高考浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率
2、是_解析：记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P(A).答案：1辨明两个易误点(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的(2)概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时P(AB)0.2古典概型中基本事件的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基
3、本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同(3)排列、组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识做一做3集合A2，3，B1，2，3，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.B.C. D.解析：选C.从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P.4在集合x|x，n1，2，3，10中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x的概
4、率是_解析：基本事件总数为10，满足方程cos x的基本事件数为2，故所求概率为P.答案：_简单古典概型的求法_(2014高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.扫一扫进入91导学网()古典概型的概率 解(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X
5、，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种因此，事件M发生的概率P(M).规律方法求古典概型概率的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)，求出P(A)1.(2015唐山市第一次模拟)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个、700个、1 050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数；(2)从抽取的6个零件中任意取出2个
6、，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的概率解：(1)由抽样方法可知从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为1，2，3.(2)记抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3.事件“这2个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种可能；事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种可能故
7、所求概率为P0.7._较复杂古典概型的概率(高频考点)_古典概型是考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题，以考查基本概念为主高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据概率求参数；(2)利用古典概型的概率公式求概率；(3)古典概型与统计的综合应用(下章讲解)(2014高考四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解(
8、1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种所以P(A
9、).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种所以P(B)1P(B)1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.规律方法求较复杂事件的概率问题的方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解2.(1)(2013高考课标全国卷)从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_.(2)(2014高考江西卷)10件产品中有7
10、件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_(3)现有8名北京马拉松志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组求A1被选中的概率；求B1和C1不全被选中的概率解析：(1)由题意知n 4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1，4和2，3，所以P，即n2n560，解得n7(舍去)或n8.(2)从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P.答案：(1)8(2)(3)解：从8人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各1名的方法数是CCC18，A1
11、恰被选中的方法数是CC6.用M表示“A1恰被选中”这一事件，P(M).“B1和C1不全被选中”包括“选B1不选C1”，“选C1不选B1”，“B1和C1都不选”这三个事件，分别记作事件A、B、C，则A、B、C彼此互斥，且有P(A)，P(B)，P(C)，用N表示这一事件，所以有P(N)P(ABC)P(A)P(B)P(C).考题溯源求古典概型的概率(2014高考江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.B.C. D.解析掷两颗骰子，点数有以下情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，
12、6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为.答案B考题溯源本考题“照搬”人教A版必修3P127的例3“同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？”1.(2015山西省太原市模拟)在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数
13、字的和是奇数的概率是()A0.3 B0.4C0.5 D0.6解析：选D.随机取出三个数字后，剩下两个数有(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，共10种情况，和为奇数共有(1，2)、(1，4)、(2，3)、(2，5)、(3，4)、(4，5)，共6种情况，故和是奇数的概率为0.6.2(2015昆明市调研)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2，3，4，5，6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为_解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1，1)，(1，2)，(1，
14、3)，(6，6)点数积等于12的结果有：(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)，共4种，故所求事件的概率为.答案：1若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是()A.B.C. D.解析：选B.依题意，所求概率为P.2(2014高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A. B.C. D.解析：选B.取两个点的所有情况有10种，两个点距离小于正方形边长的情况有4种，所以所求概率为.故选B.3现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是()
15、A. B.C. D.解析：选B.以1为首项，3为公比的等比数列中的10个数为1，3，9，27，81，243，729，2 187，6 561，19 683，其中有5个负数，1个正数1，共6个数小于8，从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是.4(2015亳州高三质检)已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与yx21有交点的概率是()A. B.C. D.解析：选C.易知过点(0，0)与yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，
16、共4个，由古典概型知概率为.5(2015东北三校高三模拟)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab，bc时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A. B.C. D.解析：选C.由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个；由2，3，4组成的三位自然数也是6个所以共有666624个当b1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”当b2时，有324
17、，423，共2个“凹数”三位数为“凹数”的概率P.6(2015山西省忻州市高三联考)某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是_解析：男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1.答案：7(2015吉林实验中学第一次阶段检测)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy1的概率为_解析：根据题意，可得x的情况有6种，y的情况也有6种，则骰子朝上的点数分别为x，y的情况有36种，若log2xy1，则y2x，其情况有1、2，2、4，3、6共3种，则满足log2xy1的概率是，故答案为
18、.答案：8. 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为_解析：基本事件的总数是16，在中，当，时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1.答案：9设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求使得事件“ab”发生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”发生的
19、概率解：(1)由题意知，m1，2，3，4，5，6，n1，2，3，4，5，6，故(m，n)所有可能的取法共36种使得ab，即m3n0，即m3n，共有2种：(3，1)、(6，2)，所以事件ab的概率为.(2)|a|b|，即m2n210.共有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)6种使得|a|b|，其概率为.10(2014高考山东卷)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地
20、区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：501，1503，1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽
21、到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.1(2015合肥二检)从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为()A. B.C. D.解析：选A.设两名女生为a1，a2，两名男生为b1，b2，则所有可能如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，
22、a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以其概率为P，故选A.2(2015陕西质检)连掷两次骰子得到的点数依次为m和n，若记向量a(m，n)与向量b(1，2)的夹角为，则为锐角的概率是_解析：依题意，为锐角，则ab0，则m2n0，m2n连续掷两次骰子的所有可能结果为36种，其中满足m2n的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，所以所求概率为.答案：3将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四面体(四个面上分别标有数字1，2，3，4)
23、同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”设复数为zabi.(1)若集合Az|z为纯虚数，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2(b6)29”的概率解：(1)A6i，7i，8i，9i(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2(b6)29”的事件为B.当a0时，b6，7，8，9满足a2(b6)29；当a1时，b6，7，8满足a2(b6)29；当a2时，b6，7，8满足a2(b6)29；当a3时，b6满足a2(b6)29.即B为(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(
24、1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，6)共计11个所以所求概率P.4在APEC会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且xy”(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(
25、1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)(2)记事件“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y1，2，3，4，5，6，7，8，9，且11xy17，其中xy”，由(1)可知事件A共含有15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3
26、，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)“所抽取的两名记者都是男记者”记作事件B，则事件B为“x，y1，2，3，4，5，且xy”，包含(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个故P(A)P(B).5已知集合Px|x(x210x24)0，Qy|y2n1，1n2，nN*，MPQ.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x，y)，且xM，yM，试计算：(1)点A正好在第三象限的概率；(2)点A不在y轴上的概率；(
27、3)点A正好落在区域x2y210上的概率解：由集合Px|x(x210x24)0可得P6，4，0，由Qy|y2n1，1n2，nN*可得Q1，3，则MPQ6，4，0，1，3，因为点A的坐标为(x，y)，且xM，yM，所以满足条件的点A的所有情况为(6，6)，(6，4)，(6，0)，(6，1)，(6，3)，(3，3)，共25种(1)点A正好在第三象限的可能情况为(6，6)，(4，6)，(6，4)，(4，4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1.(2)点A在y轴上的可能情况为(0，6)，(0，4)，(0，0)，(0，1)，(0，3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P21.(3)点A正好落在区域x2y210上的可能情况为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(3，1)，(1，3)，(3，0)，(0，3)，(1，1)共8种，故点A落在区域x2y210上的概率P3.
