1、房山区 2022-2023 学年度第一学期诊断性评价 高三数学 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 2 0 1 2A=，2|1Bx x=，则 AB=（A）1 0 1，（B）0 1，（C）2 0 1，（D）2 0 1 2，（2）若复数 z 满足(1 i)2iz+=，则在复平面内 z 对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）已知数列na满足12nnaa+=，12a=，则数列na的前四项和4S 的值为（A）1516 （B）1516 （C）154
2、（D）154（4）已知函数xxxf241)(=，则)(xf（A）图象关于原点对称，且在0)+，上是增函数 （B）图象关于原点对称，且在0)+，上是减函数（C）图象关于 y 轴对称，且在0)+，上是增函数（D）图象关于 y 轴对称，且在0)+，上是减函数 高三数学第 1 页（共 6 页）（5）若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（A）coscos （B）sinsin （D）cossin上一点 M 到抛物线的准线和对称轴的距离分别为 5 和 3，则 p 的值为（A）1 （B）2 （C）1 或9 （D）2 或 9（8）已知半径为1的动圆 P 经过坐标原点，则圆心 P 到直线()20
3、mxym=+R 的距离的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（9）某教学软件在刚发布时有100 名教师用户，发布5 天后有 1 000 名教师用户.如果教师用户人数)(tR与天数t 之间满足关系式：0()ektR tR=，其中 k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过 20 000名至少经过的天数为 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12（参考数据：lg20.3010）（10）在 ABC 中,4BC=,3ABAC=,则 BC BA 的取值范围为（A）3,12 （B）3,12（）（C）12,24 （D）12,24（）高三数学第 2 页（共 6 页）第二部分（非选
4、择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）函数xxxflg11)(+=的定义域是_ （12）3 41xx（）的展开式中常数项是_（用数字作答）（13）若双曲线221xym=的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_ （14）若函数2|()=24xxmf xxmxmxm+，存在最小值，则 m 的一个取值为_；m 的最大值为_（15）函数()0.03sin(1000)0.02(sin 2 000)0.01sin(3 000)f tttt=+的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：1500是函数()f t 的一个周期；()f t 的图象关于直线1
5、500t=对称；()f t 的图象关于点1(0)500，对称；()f t 在11,6 000 6 000上单调递增.其中所有正确结论的序号是_ 高三数学第 3 页（共 6 页）密封线内不 能 答题第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）函数xxxflg11)(+=的定义域是_ （12）3 41xx（）的展开式中常数项是_（用数字作答）（13）若双曲线221xym=的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_ （14）若函数2|()=24xxmf xxmxmxm+，存在最小值，则 m 的一个取值为_；m 的最大值为_（15）函数()0.03s
6、in(1000)0.02(sin 2 000)0.01sin(3 000)f tttt=+的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：1500是函数()f t 的一个周期；()f t 的图象关于直线1500t=对称；()f t 的图象关于点1(0)500，对称；()f t 在11,6 000 6 000上单调递增.其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）在 ABC 中，D 是边 AC 上一点，1CD=，2BD=，3AB=，1cos8BDC=.（）求 AD 的长；（）求 ABC 的面积.（17
7、）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为1的正方形，PA 平面 ABCD，Q 为棱 PD 的中点.（）求证：/PB平面 ACQ；（）再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，求：直线 PC 与平面 ACQ 所成角的正弦值，以及点 P 到平面 ACQ 的距离.条件：AQPC；条件：AQ 平面 PCD；条件：62CQ=.（把此图用黑签字笔画在答题卡上）高三数学第 4 页（共 6 页）（18）（本小题 14 分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK 赛，每人只能参加其中的
8、一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计 4.8 万，其中获奖学生情况统计如下：奖项组别 单人赛 PK 赛 获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100（）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以 X 表示这 2 人中PK 赛获奖的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）从获奖学生中随机抽取3 人，设这 3 人中来自中学组的人数为 ，来自小学组的人数为 ，试判断)(D与)(D的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题 15 分）已知函数
9、2()(1)e(2)xf xa xx=+()aR （）当0=a时，求曲线()yf x=在点1=x处的切线方程；（）求函数)(xf的单调区间；（）若函数)(xf恰有一个零点，则 a 的取值范围为 .（只需写出结论）高三数学第 5 页（共 6 页）（20）（本小题 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(2 3)P，且点P 到两个焦点的距离之和为 8.（）求椭圆C 的方程；（）直线:l ykxm=+与椭圆C 分别相交于 A，B 两点，直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 MN，.试问是否存在直线l，使得线段 MN 的垂直平分线经过点 P，如果存在，写出一条满足条件的直线l 的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.（21）（本小题 14 分）若对+Nmn，当 mn A 时，都有mnaaA，则称数列na受集合 A 制约.（）若=2nna，判断na是否受+N 制约，na是否受区间0 1，制约；（）若12=1=3aa，na受集合2制约，求数列na的通项公式；（）若记 p：“na受区间1，2 制约”,q：“na受集合2制约”,判断 p 是否是 q 的充分条件，p 是否是 q 的必要条件，并证明你的结论.高三数学第 6 页（共 6 页）
