1、4.5.2 用二分法求方程的近似解 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果你是维修工人，你会爬上每根线杆测试吗？想一想，怎样工作最合理？想一想 两线杆之间的距离大约是30-50米 设闸房和指挥部的所在处为点A,B,A(闸房)这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半 C B（指挥部）D E 要把故障可能发生的范围缩小到50100m左右，即两三根电杆附近，最多查几次就可以了？7次 取中点这种解决问题的方法，就是二分法.1.学习二分法的思想，掌握二分法求方程近似解 的一般步骤.（重点）2.明确精确度 与近似值的区别.
2、3.学会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解.（难点）4.学习用二分法思想解决其他的实际问题.通过二分法求方程的近似解，培养逻辑推理的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂已知函数f(x)=ln x+2x-6在区间（2，3）内有零点.你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？列出下表：（2，3）f(2)0 2.5 f(2.5)0（2.5，3）f(2.5)0 2.75 f(2.75)0（2.5，2.75）f(2.5)0 2.625 f(2.625)0（2.5，2.625）f(2.5)0 2.562 5 f(2.562 5)0 f(2.5)0（2.5，2.562
3、 5）f(2.531 25)0 2.531 25 想一想维修工人的维修方法 问题：如若要求精确度为0.01，怎么找零点？怎样才算达到精确度了呢？根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）f(2)0 2.5 f(2.5)0（2.5，3）f(2.5)0 2.75 f(2.75)0（2.5，2.75）f(2.5)0 2.625 f(2.625)0（2.5，2.625）f(2.5)0 2.562 5 f(2.562 5)0（2.531 25，2.562 5）f(2.5)0（2.5，2.562 5）f(2.531 25)0 f(2.531 25)0 f(2.531 25)0（2.531
4、25，2.539 062 5）f(2.546 875)0 f(2.531 25)0 列出下表：由于 2.539 062 52.531 250.007 812 50.01所以，可以将 2.531 25x作为函数()ln26f xxx零点的近似值，也即方程 ln260 xx的近似根.注意精确度 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.二分法的定义：对于在区间a,b上_且f(a)f(b)0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在 的区间_，使区间的两个端点逐步逼近 _，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.连续不断 一分为二 零点
5、前提条件 1.确定区间，验证，给定精确度.,a b()()0f af b2.求区间（a,b）的中点c.3.计算()f c（1）若 ，则c就是函数的零点.()0f c（2）若 ,则令b=c(此时零点x0(a,c).()()0f af c（3）若 ,则令a=c（此时零点x0(c,b).()()0f cf b即若 ，则得到零点近似值a(或b）；ab4.判断是否达到精确度：否则重复步骤24 给定精确度 ,二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤：用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解寻找解所在区间的方法：（1）图象法:先画出y=f(x)的图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；或
6、画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所处的范围.（2）函数法:把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.【提升总结】用二分法求方程 ln(2x6)23x 的根的近似值时，令 f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表：x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x)1.0794 0.1918-0.3604-0.9989 则由表中的数据，可得方程 ln(2x6)2 3x 的一 个 近 似 解(精 确 度 为 0.1)为()A1.125 B1.3125 C1.4375 D1.46875 B【即时训练】【解
7、析】因为 f(1.25)f(1.375)0.1，因此需要取(1.25,1.375)的 中 点1.3125，两 个 区 间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.06250.1，因此 1.3125 是一个近似解，故选 B.例1.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.本题已给出函数表达式和规定的区间求零点，可根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值.【解题关键】【解析】原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算
8、机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表和图象如下：273 142 75 40 21 10 3-2-6 f(x)8 7 6 5 4 3 2 1 0 x 因为f(1)f(2)0，所以 f(x)=2x+3x-7在区间（1，2）内有零点x0,取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)0.33，因为f(1)f(1.5)0，所以x0（1，1.5）取区间（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)-0.87，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0（1.25，1.5）同理可得，x0（1.375，1.5），x0（1.375，1.437 5），由于|1.375-1.437 5|=0.062
9、50.1 所以，原方程的近似解可取为1.437 5.利用计算器，求方程lg x=3-x的近似解.（精确度0.1）.解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内.设 f(x)=lgx+x-3 y 1 3 3 x o【变式练习】因为|2.625-2.562 5|=0.062 50.1，所以可以将x=2.625作为原方程的一个近似解.根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号（2，3）f(2)0 2.5 f(2.5)0（2.5，3）f(2.5)0 2.75 f(2.75)0（2.5，2.75）f(2.5)0 2.625
10、 f(2.625)0（2.5，2.625）f(2.5)0 2.562 5 f(2.562 5)0（2.562 5，2.625）f(2.562 5)0 列出下表：请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？1.函数y=f(x)在a,b上连续不断.2.y=f(x)满足f(a)f(b)0，则在(a,b)内必有零点.不是所有的情况都能用二分法哦 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 1.定义 2.步骤 3.应用 2.逼近思想：用二分法求方程近似解即是逼近思想的应用 1.转化法：把方程的解转化为函数的零点 求方程的近似解时要注意精确度 逻辑推理：通过二分法求方程的近似解，培养逻辑推理的核心素养 1.函数
11、f(x)ln(x1)2x的零点所在的大致区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，e)D.(3，4)【解析】选 B.利用零点存在性定理得到f(1)f(2)(ln 22)(ln 31)0.B 2、用二分法求函数 f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为 0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001 【解析】选 B.据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度 时，便可结束计算 B 3用二分法求方程 x32x50 在区间(2,4)上的实数根时，取中点 x13，则下一个含有根的区间是_【解析】令 f(x)x32x5，则 f(2)23225
12、10，故下一个含有根的区间为(2,3)（2，3）4已知函数 f(x)lnx2x6.(1)证明：f(x)有且只有一个零点；(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于14.【解析】(1)f(x)lnx2x6 在(0，)上是增函数，f(x)至多有一个零点由于 f(2)ln220，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)内至少有一个零点f(x)在(0，)上只有一个零点(2)f(2)0，取 x1232 52，f(52)ln5256ln5210，f(3)f(52)0.f(114)f(52)0.x0(52，114)|114 52|1414，满足题意的区间为(52，114)二分法 定义 求函数零点近似值的步骤 三种思想 逼近思想 函数思想 算法思想 定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断.口 诀 世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
