1、2.3两角和与差的正切函数Q某电视塔建在一座高山上(如图)，小明自A点观测山顶C的仰角为45，塔顶P点的仰角为75，AB500米需求电视塔顶距地面的高度即PB，显然754530；如果能找到tan 75与tan 45，tan 30的关系，PB便容易求出！这就是本节所要研究的问题X1两角和的正切公式tan ()_2两角差的正切公式tan ()_(其中k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)知识点拨正切公式的逆用及变形用(1)注意公式的逆用，比如：tan ()tan ，又如tan (45)(2)除了公式的正用、逆用外，还要注意公式的变形应用tan tan tan ()(1tan tan )，tan tan
2、 tan ()(1tan tan )，如tan tan tan tan tan ()tan ()，tan ()tan tan tan tan tan ()，1tan tan .1tan tan .Y1tan (165)的值是(B)A2B2C2D2解析原式tan (18015)tan 15tan (4530)2.2tan 3，tan ，则tan ()(B)A3BC3D解析tan ().3tan 10tan 20(tan 10tan 20)的值等于(B)AB1CD解析tan 30，tan 10tan 20(1tan 10tan 20)原式tan 10tan 201tan 10tan 201.4若，
3、(0，)且tan ，tan ，则tan ()_1_.解析tan ()1.H命题方向1公式的直接应用典例1已知sin ()，tan ，为第二象限角，求tan ()的值思路分析首先利用诱导公式求出sin ，然后利用sin 2cos 21，求出cos ，进而求出tan ，最后利用tan ()求解解析sin ()sin ，sin ，又是第二象限角，cos ，tan ，又tan ，tan ()2.规律总结该题属于给值求值题，解答此题的关键在于先用T公式分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知的向已知进行转化解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角跟踪练习1已知，都是锐角，且tan ，
4、tan ，tan ，求的值解析因为tan ()，tan ()1.由已知可推得，又因为0tan ，所以0，即0.故.命题方向2公式的逆用与变形应用典例2求下列各式的值：(1)；(2)(1tan 1)(1tan 2)(1tan 44)；(3)tan 25tan 35tan 25tan 35.思路分析尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值解析(1)原式tan (4575).(2)因为(1tan 1)(1tan 44)1tan 1tan 44tan 1tan 442，同理(1tan 2)(1tan 43)2，所以原式222.(3)tan 60tan (2535)，tan 25tan
5、35(1tan 25tan 35)tan 25tan 35tan 25tan 35.规律总结1.“1”的代换：在T中如果分子中出现“1”常利用1tan 45来代换，以达到化简求值的目的2若k，kZ，则有(1tan )(1tan )2.3若化简的式子里出现了“tan tan ”及“tan tan ”两个整体，常考虑tan ()的变形公式跟踪练习2求下列各式的值(1)；(2)tan (18x)tan (12x)tan (18x)tan (12x)解析(1)tan (6015)tan 451.(2)tan (18x)(12x)tan 30tan (18x)tan (12x)1tan (18x)tan
6、 (12x)于是原式tan (18x)tan (12x)1tan (18x)tan (12x)1.X公式的综合应用典例3已知在ABC中，tan Btan Ctan Btan C，tan Atan B1tan Atan B，试判断ABC的形状思路分析利用tan tan tan ()(1tan tan )将所给的等式变形解析由tan Btan Ctan Btan C，得tan Btan C(1tan Btan C)tan (BC)(1tan Btan C)若tan Btan C1则tan BcotC，故在ABC中，BC，故BC，A，tan A无意义，与题设矛盾，tan Btan C1，tan (B
7、C)，BC60.同理，由tan Atan B1tan Atan B，得(tan Atan B)(1tan Atan B)tan (AB)(1tan Atan B)，tan (AB)，AB150.又由ABC180，BC30，A120，ABC为等腰三角形规律总结本题主要考查两角和的正切公式在三角形中的应用证明与三角形有关的问题时，一要注意三内角和等于180；二要注意创设条件，使之能运用两角和与差的三角函数公式；三要注意应用两角和与差正切公式的变形跟踪练习3在ABC中，已知tan A与tan B是方程2x29x130的两个根，求tan C的值解析由题意知tan Ctan (AB)tan (AB).Y
8、典例4已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，若，(，)，求的值错解因为tan ，tan 是方程x23x40的两根，所以tan tan 3，tan tan 4，所以tan ().又，(，)，所以，所以或.辨析求解时要注意题中的隐含条件tan tan 30，即tan 0，tan 0，错解中忽视了这点，只根据，(，)，推出，从而产生错解正解同上可得，tan ().由tan tan 3且tan tan 4，可知tan 0，tan 0，又，(，)，所以，(，0)，所以(，0)，所以.跟踪练习4已知tan ，tan 都是关于x的一元二次方程mx2(2m3)x(m2)0的两根，求tan ()的最小
9、值解析由题意得，解得m且m0.且tan tan ，tan tan .tan ()m.又m且m0，tan ()的最小值为.K1已知(，)，sin ，则tan ()等于(D)AB7CD7解析(，)，sin ，cos ，tan .tan ()7.2tan 17tan 43tan 17tan 30tan 30tan 43的值为(B)A1B1CD解析原式tan 17tan 43tan 30(tan 17tan 43)tan 17tan 43tan 60(1tan 17tan 43)tan 17tan 431tan 17tan 431.3已知tan 2，tan ()，则tan 的值为_3_.解析tan tan ()3.4设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan ()的值为_3_.解析因为tan ，tan 是方程x23x20的两根，所以tan tan 3，tan tan 2，而tan ()3.
