1、4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质Q江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？X在单位圆中，设任意角x的终边与单位圆交于P(cos x，sin x)，当P点变化时，点P的横纵坐标也在变。根据正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的定义，我们可以根据单位圆看出它们有如下性质(1)定义域ysin x和ycos x的定义域是_R_.(2)值域与最值ysin x和ycos x的值域是_1,1_.当x_2k(kZ)_时，ysin x取得最大值1；当x_2k(kZ)_时，ysin x取得最小值1
2、；当x_2k(kZ)_时，ycos x取得最大值1；当x_2k(kZ)_时，ycos x取得最小值1；(3)周期性ysin x和ycos x都是周期函数，它们的最小正周期是_2_.(4)单调性ysin x在每一个区间_2k，2k(kZ)_上是增加的，在每一个区间_2k，2k(kZ)_上是减少的ycos x在每一个区间_2k，2k(kZ)_上是增加的，在每一个区间_2k，2k(kZ)_上是减少的Y1在下列区间中，使函数ysin x为增函数的是(C)A0，B，C，D，22函数y2sin x取得最大值时x的值为_2k(kZ)_.解析y2sin x，当sin x1时，ymax3，此时x2k(kZ)3函
3、数ysin x(x)的值域为_，1_.H命题方向1正弦、余弦函数的值域问题典例1函数y2sin x(0x)的值域是(C)A2,2B1,1C0,1D0,2分析先求出tsin x，x0，的范围再求y2t的范围解析令tsin x，0x，0t，y2t0,1，故选C规律总结形如yasin xb的函数求值域或最值时，一般利用换元法，但要注意新元的范围跟踪练习1函数y2cos x1的最大值、最小值分别是(B)A2、2B1、3C1、1D2、1命题方向2正弦型函数的值域典例2已知函数y2sin (2x)，当0x时，求函数的值域分析本题可用换元法，令t2x，则y2sin t为正弦函数，进而根据t的范围求出函数的值
4、域解析令t2x，0x，t即y2sin t，t，由单位圆可知0sin t1，02sin t2，0y2，函数的值域为0,2规律总结形如yAsin (x)(A0，0)的函数，当定义域为R时，值域为|A|，|A|；当定义域为某个给定的区间时，需先确定x的范围，结合正弦函数的单调性确定值域跟踪练习2函数ysin (x)，x0，的值域为_，1_.X与三角函数有关的函数的值域典例3求下列函数的值域：(1)y32cos 2x，xR；(2)ycos 2x2sin x2，xR.思路分析(1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域解析(1)1co
5、s 2x1，22cos 2x2.132cos 2x5，即1y5.函数y32cos 2x，xR的值域为1,5(2)ycos 2x2sin x2sin 2x2sin x1(sin x1)2.1sin x1，函数ycos 2x2sin x2，xR的值域为4,0规律总结求形如yasin 2xbsin xc，a0，xR的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性跟踪练习3求下列函数的值域(1)y32sin 2x；(2)y|sin x|sin x.解析(1)1sin 2x1，1y5.y1,5(2)当sin x0
6、时，y2sin x2，这时0y2；当sin x1，所以只需求usin x的单调递增区间即可即2kx2k，kZ函数ylog2sin x的单调递增区间为2k，2k(kZ)错因分析该解法错误的原因在于忘记考虑定义域思路分析先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集正解由题意，得sin x0所以2kx2k，kZ，又usin x需单调增，所以2kx2k，kZ，综合以上两个要求，所以ylog2sin x的单调递增区间是(2k，2k(kZ)跟踪练习4函数y的减区间为_2k，2k_kZ_.解析由已知得12cos x0，cos x，因此y的减区间即为ycos x的增区间且cos x，所以所求区间为：2k，2k，kZ.K1函数f(x)sin (x)的最大值是(A)A1B1C0D22函数f(x)sin (2x)在区间0，上的最小值为(B)A1BCD0解析由x0，得2x，所以sin (2x)，1，故函数f(x)sin (2x)在区间0，上的最小值为.3使ysin x和ycos x均为减函数的一个区间是(B)A(0，)B(，)C(，)D(，)4y的定义域为_2k，2k(kZ)_.解析要使函数有定义，则需sin x0，即sin x0.2kx2k，kZ.
