1、3数学归纳法与贝努利不等式31数学归纳法1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤.2.能够利用数学归纳法证明一些简单问题.数学归纳法数学归纳法原理是设有一个关于正整数n的命题，若当n取第1个值n0时，该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k1个值时该命题成立，则该命题对一切自然数nn0都成立数学归纳法证明的步骤(1)验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确(2)假设当nk时(kN，kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以判定命题对于从n0开始的所有正整数都正确数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一
2、步是递推的基础，确定了nn0时命题成立，nn0成为后面递推的出发点第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误只完成第一步而缺少第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判定命题对n01，n02，是否正确证明第二步，就获得递推的依据，第二步中，在推证之前，命题对nk是否成立是不清楚的，因此用“假设”两字，这一步的实质是证明命题对nk的正确性可以传递到nk1的情况，因此证明中，恰当运用归纳假设是关键，完成一、二两步后，要对nn0(nN)时，命题成立做出总结1数学归纳法中，n取第一个值n0是否一定是1?提示：n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数2如
3、何理解归纳假设在证明中的作用？提示：归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明否则，就不是数学归纳法数学归纳法的概念用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立时，左边计算的结果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3思路点拨可代入n1检验解析实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，因此n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.答案C规律方法验证n取第一个值n0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出nn0时的命题变式训练1若f(k)1，则f(k
4、1)f(k)_解析：f(k1)1，f(k1)f(k).答案：用数学归纳法证明正整数的命题用数学归纳法证明：nN时，.思路点拨先验证n1时成立，然后利用归纳假设证nk1时也成立证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立(2)假设nk(k1)时，等式成立，即有，则当nk1时，.nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN等式都成立规律方法(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述nn0时命题的形式，二是准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点(2)应用数学归纳法时的常见问题第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证n2，n3.对nk1时式子的项数以及
5、nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范(12分)求证：二项式x2ny2n(nN)能被xy整除思路点拨由题目可获取以下主要信息：与正整数有关的命题直接对x2ny2n进行分解得出因式xy有困难解答本题可采用数学归纳法规范解答(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除.3分(2)假设nk(k1，且kN)时，x2ky2k能被xy整除，5分当nk1时，即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(
6、x2ky2k)y2k(x2y2).8分x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除，10分即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立.12分规律方法利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k2y2k2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出nk时的归纳假设，剩余部分仍能被xy整除变式训练2求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)证明：(1)当n1时，等式左边2，等
7、式右边212，等式成立(2)假设nk(kN)等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1即nk1时等式也成立由(1)(2)可知对任何nN等式均成立归纳、猜想与数学归纳法证明设f(n)0(nN)，对任意正整数n1和n2总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想思路点拨先求f(1)，f(2)，f(3)归纳猜想f(n)用数学归纳法证明解(1)由于对任意正整数n1和n
8、2，总有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，初步归纳猜想f(n)2n.当n1时，f(1)2成立；假设nk时，f(k)2k成立当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当nk1时，猜想也成立由得，对一切nN，f(n)2n都成立规律方法(1)切实掌握“观察、归纳、猜想、证明”这一特殊到一般的推理方法；(2)证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式“凑假设”，然后利用归纳假设，经过恒
9、等变形，得到结论需要的形式“凑结论”变式训练3已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)证明：当n1时，猜想显然成立当n2时，a252225，猜想成立假设nk时猜想成立，即ak52k2(k2，kN)，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2552k152(k1)2.故nk1时猜想也成立根据可知，对任意n2，nN，有an52n2.所以数列an的通项anA基础达标.用数学归纳法
10、证明123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1B13C123 D1234解析：选C.当n1时左边有2113项，左边所得的代数式为123.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1 B2C3 D0解析：选C.边数最少的凸n边形是三角形用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左边需增加的代数式为()A2k2 B2k1C2k D2k1解析：选D.等式“135(2n1)n2”中，当nk时，等式的左边135(2k1)，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到
11、k1左边需增加的代数式为2k1.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立解析：两个奇数之间相差2.nk2.答案：k2B能力提升用数学归纳法证明“n1(nN)”的过程中的第二步nk1时(n1已验，nk已假设成立)，这样证明： (k1)1，当nk1时，命题成立，此种证法()A是正确的B归纳假设写法不正确C从k到k1推理不严密D从k到k1的推理过程未使用归纳假设解析：选D.从k到k1的推理过程中未使用归纳假设，证明方法错误用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nN)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时
12、的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：选A.假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A. BC2 D解析：选B.nk到nk1时，内角和增加.某个命题：(1)当n1时，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时成立，可以推出nk2时也成立，则命题对_成立()A正整数 B正奇数C正偶数 D都不是解析：选B.由题意知，k1时，k23
13、；k3时，k25，依此类推知，命题对所有正奇数成立，故选B.在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. BC. D解析：选C.a1，由Snn(2n1)an，得a1a22(221)a2，解得a2，a1a2a33(231)a3，解得a3，a1a2a3a44(241)a4，解得a4.猜想an.用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_解析：nk时，命题为“12222k12k1”，nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k2k11.答案：12222k12k2k11.用数学归
14、纳法证明coscos3cos(2n1)sincos(n，nN)，在验证n1等式成立时，左边计算所得的项是_解析：由等式的特点知：当n1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n1)，故左边计算所得的项是cos.答案：cos.用数学归纳法证明：1427n(3n1)n(n1)2(nN)证明：(1)n1时，左边1(311)4，右边1(11)24，左边右边(2)假设nk(nN)时，命题成立，即：1427k(3k1)k(k1)2当nk1时，左边14k(3k1)(k1)(3k4)k(k1)2(k1)(3k4)(k1)k(k1)3k4(k1)(k24k4)(k1)(k2)2.nk1时，命题也成立由(1)(2)
15、知：对nN，1427n(3n1)n(n1)2.设正数数列an的前n项和为Sn，且Sn，试推测出an的表达式，并用数学归纳法加以证明解：S1a1，a1(a1)，解得正数a11；a1a2S2(a2)，2a2，即a2a210，解得a21；S2a3S3，即a3(a3)，a2a310，解得a3.观察a11，a21，a3，猜想an.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，由以上知猜想式成立(2)假设当nk(k1)时，猜想式成立，即ak.由Skak1Sk1，有(ak)ak1(ak1)，即()ak1(ak1)亦即2ak1，a2ak110，解得正数ak1即当nk1时，猜想式也成立根据(1)和(2)，可知对任意自然数猜想式an成立
