1、4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性Q在初中，我们知道RtABC中，C为直角时，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作A的正弦，记作sin A；锐角A的邻边与斜边的比叫作A的余弦，记作cos A，即sin A，cos A.当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标当所求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦函数的定义呢？这就是本节要研究的内容X1任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，以_原点_为圆心，以_单位长_为半径的圆，称为单位圆(2)任意角的正弦、余弦函数
2、的定义定义1：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的_纵坐标_v叫作角的正弦函数，记作_vsin _；点P的_横坐标_u叫作角的余弦函数，记作_ucos _.通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角形ysin x和ycos x，它们的定义域为_全体实数_，值域为_1,1_.定义2：利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：如图所示，设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0)，那么：比值_叫作的正弦，记作sin ，
3、即sin _.比值_叫作的余弦，记作cos ，即cos _.(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin _cos _2单位圆与周期性(1)终边相同的角的正、余弦函数值_相等_sin (2kx)_sin x_，kZ.cos (2kx)_cos x_，kZ.(2)周期函数与周期一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有_f(xT)f(x)_，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的_周期_.Y1已知sin ，cos ，则角终边所在的象限是(D)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析sin 0，在第一或第四象
4、限终边所在的象限是第四象限2.角的正弦值的符号为(B)A正B负C0D不能确定解析2，而，是第三象限角，sin 0)上，求角的正弦函数值、余弦函数值思路分析可先设角终边上任一点的坐标，然后借助三角函数定义加以解决解析解法一：设的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y2x(x0)又因为x2y21，所以于是sin y，cos x.解法二：在角终边上任取一点P(x，y)(x0)，则y2x，r|OP|x|.又x0，所以|OP|x.所以sin ；cos .规律总结求角的正弦函数值与余弦函数值的方法已知角的终边所在直线，求的正弦函数值及余弦函数值时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点
5、坐标，然后利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值注意到角的终边为射线，所以可取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin ，余弦值cos .这里的(a，b)可以都是确定的常数，也可以是坐标中含有参数的形式跟踪练习1角的终边上有一点P(2，2)，则sin 的值是(B)ABCD1解析利用三角函数定义知：sin .命题方向2正弦、余弦函数值符号的确定典例2判断下列三角函数值的符号(1)sin 4cos 4；(2)sin 8cos 8.思路分析确定4rad,8rad所在象限，则符号易定解析(1)4，sin 40，cos 40；(2)80，cos 80，sin 8cos 80.规律总结对于此
6、类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要跟踪练习2(1)判断下列各式的符号：sin 3cos 4tan 5；是第二象限角，sin cos .(2)若cos 0，则是第(C)象限角A一B三C一或三D任意象限角解析(1)3，4，50，cos 40，tan 50.是第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos 0.(2)由cos 0，知是第二象限角，所以是第一或三象限角命题方向3利用终边相同的角的公式化简、求值典例3求下列三角函数值(
7、1)cos (1050)；(2)sin ()；(3)log2(4sin 1110)思路分析先利用终边相同的角的公式转化，然后求值解析(1)1050336030，1050的角与30的角终边相同cos (1050)cos 30.(2)42，角与角的终边相同sin ()sin .(3)sin 1110sin (336030)sin 30，log2(4sin 1110)log2(4)log221.规律总结解答此类题目的方式是先把已知角借助于终边相同的角化归到0,2)之间，然后利用公式化简求值；在问题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想跟踪练习3(1)cos ()sin _；(2)sin (1
8、740)cos 1470cos (660)sin 750tan 405.解析(1)原式cos (6)sin (6)cos sin .(2)原式sin (605360)cos (304360)cos (602360)sin (302360)tan (45360)sin 60cos 30cos 60sin 30tan 4512.命题方向4周期函数的理解与应用典例4已知f(xa)f(x)(a0)求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期思路分析只需找出一个常数T(T0)，满足f(xT)f(x)即可证明f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期规律总
9、结(1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的如果只有个别的x值满足f(xT)f(x)，则不能说T是f(x)的周期(2)从等式f(xT)f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期如f(2xT)f(x)的周期，不能说T是f(x)的周期跟踪练习4以下几个命题中正确的有(A)若函数f(x)定义域中存在某个自变量x0，使f(x0T)f(x0)，则f(x)为周期函数；存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都满足f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数；周期函数的周期是唯一的A0个B1个C2个D3个解析由周期函数的定义可知，f(xT)f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T0，故不正确；
10、由周期函数的定义可知T0，故不正确；若T为周期，则f(x2T)f(xT)Tf(xT)f(x)，故2T也是周期，故不正确X分类讨论思想在化简三角函数式中的应用典例5设角的终边不在坐标轴上，求函数y的值域解析当是第一象限角时，sin ，cos ，tan 均为正值，3.当是第二象限角时，sin 为正值，cos ，tan 为负值，1.当是第三象限角时，sin ，cos 为负值，tan 为正值，1.当是第四象限角时，sin ，tan 为负值，cos 为正值，1.综上可知，函数y的值域为1,3规律总结对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论跟踪练习5若sin cos 0，则的终边在(B)A第一或第二
11、象限B第一或第三象限C第一或第四象限D第二或第四象限Y三角函数定义理解中的误区典例6已知角的终边过点P(3m，m)(m0)，则sin _.错解一由题意可得：|OP|m，所以sin .故填.错解二由题意可得，|OP|m，所以sin .故填.错因分析错解一误认为只有m0的情况而得到，错解二对正弦与余弦函数定义中比的顺序颠倒而得sin .正解或由题意可得，|OP|m|.当m0时，|OP|m|m，则sin .当m0时，ra，得sin ，cos ；当a0时，sin ，cos ；a0Bcos tan 0Csin cos 0Dsin cos 0解析角的终边过点(3，2)，sin 0，cos 0，sin cos 0，故选C3sin 585的值为(A)ABCD解析sin 585sin (360225)sin 225.由于225是第三象限角，且终边与单位圆的交点为(，)，所以sin 225.4在ABC中，若sin Acos Btan C0.sin Acos Btan C0，cos Btan C0.cos B和tan C中必有一个小于0.即B、C中必有一个钝角，选C5函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)2，则f(6)_2_.解析f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)2.
