1、5 二项式定理52 二项式系数的性质01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理二项式系数的性质对称性在(ab)n 展开式中，与首末两端_的两个二项式系数相等，即 Cmn_增减性与最大值增减性：当 kn12 时，二项式系数是逐渐增大的；当 kn12 时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数 Cn2n 最大，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn12n，Cn12n 相等，且同时取得最大值等距离Cnmn二项式系数的和C0nC1nC2nCnn_；C0nC2nC4nC1nC3nC5n_2n2n1双基自测1.x1x10 的展开式中，系数最大
2、的项是()A第六项B第三项C第三项和第六项D第五项和第七项解析：展开式第六项系数为C510，第五项和第七项系数为 C410、C610，且C410C610.D2C110C210C1010的值为_解析：(11)10C010C110C210C1010，C110C210C101021011 023.1 023探究一 赋值法求多项式系数和 例 1 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解析(1)令 x0，则 a01，令 x1，则 a7a6a1a027128.a1a2a7129.(2)令 x1，则a
3、7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由2得：a1a3a5a712128(4)78 256.(3)由2得：a0a2a4a612128(4)78 128.(4)解法一(3x1)7 展开式中 a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7 均大于零，|a0|a1|a2|a7|a1a3a5a7(a0a2a4a6)8 256(8 128)16 384.解法二|a0|a1|a2|a7|即为(13x)7 展开式中各项的系数和，|a0|a1|a2|a7|(13)74716 384.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母
4、赋的值为1 或1，但在解决具体问题时要灵活掌握1在二项式(2x3y)9 的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值的和解析：设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929512.(2)令 x1，y1，得 a0a1a2a9(23)91，即各项系数和为1.(3)由(2)得 a0a1a2a91，令 x1，y1，得 a0a1a2a3a8a959，得 a0a2a4a6a85912，即所有奇数项系数之和为5912.(4)Tr1Cr9(2x)9r(3y)r(1)rCr929r3rx9
5、ryr，因此当 r1,3,5,7,9 时，Tr1的系数小于 0，即 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0.|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a8a959.探究二 增减性与最值问题 例 2 已知：(x233x2)n 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解析 令 x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n，又展开式中二项式系数和为 2n，22n2n992，n5.(1)n5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第 3、4 两项，T3C25(x23)3(3x2)290 x6，T4C35(x23)2(3x2)32
6、70 x223.(2)设展开式中第 r1 项系数最大，则 Tr1Cr5(x23)5r(3x2)r3rCr5x10 43r，3rCr53r1Cr153rCr53r1Cr1572r92，r4.即展开式中第 5 项系数最大，T5C45(x23)54(3x2)4405x263.(1)根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解一般地，如果第 r1 项的系数最大，则与之相邻两项(第 r 项，第 r2 项)的
7、系数均不大于第 r1 项的系数，由此列不等式组可确定 r 的范围，再依据 rN 来确定 r 的值，即可求出最大项2(12x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解析：T6C5n(2x)5，T7C6n(2x)6，依题意有 C5n25C6n26n8.(12x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为T5C48(2x)41 120 x4.设第 r1 项系数最大，则有Cr82rCr18 2r1Cr82rCr18 2r1 5r6.r5 或 r6.r0,1,2，8，系数最大的项为 T61 792x5，T71 792x6.探究三 证明与组合数有关的恒等式 例
8、 3 求证：C0nC1nC1nC2nCn1nCnn2n！n1！n1！.证明(1x)2n 展开式中 xn1 的系数为Cn12n 2n！n1！n1！，又(1x)2n(1x)n(x1)n(C0nC1nxC2nx2Cn1nxn1Cnnxn)(C0nxnC1nxn1Cn1nxCnn)，等式右边积中 xn1 的系数为 C0nC1nC1nC2nCn1nCnn.两种展开式 xn1的系数应相等，C0nC1nC1nC2nCn1nCnn2n！n1！n1！.解决组合恒等式的问题，关键在于构造不同的二项式，利用二项式的不同展开方法，比较系数得到相应的恒等式有时取二项式中字母为某些特殊值也可得到相应的组合恒等式3求证：(
9、C0n)2(C1n)2(C2n)2(Cnn)2 2n！n！n！.证明：已知(1x)2n(1x)n(1x)n(C0nC1nxC2nx2Cnnxn)(C0nC1nxC2nx2Cnnxn)，(C0nC1nxC2nx2Cnnxn)(C0nC1nxC2nx2Cnnxn)中 xn 的系数为第一个因式中 xr的系数与第二个因式中 xnr 的系数的乘积的和因为 xr 的系数 Crn与 xnr 的系数 Cnrn 相等，所以(C0nC1nxC2nx2Cnnxn)(C0nC1nxC2nx2Cnnxn)中 xn 的系数为(C0n)2(C1n)2(C2n)2(Cnn)2.又(1x)2n 的展开式中 xn 的系数为 Cn
10、2n，因此有(C0n)2(C1n)2(C2n)2(Cnn)2Cn2n 2n！n！n！.混淆各项的系数和与各项的二项式系数和致误 典例 在(12x)7 的展开式中，各项的二项式系数和为_；各项的系数和为_；各项系数的绝对值之和为_解析 各项的二项式系数和为 27128；令 x1，则得各项的系数和为(12)71；令 x1，则得各项系数的绝对值之和为(12)72 187.答案 128 1 2 187错因与防范 1.这类问题，极易忽略一些条件或混淆一些概念导致题目解答错误2设 a，b 为常数，则(axb)n 的展开式中各项的二项式系数和为 C0nC1nC2nCnn2n.在(axb)n 的展开式中令 x
11、1，则得(axb)n 的展开式中各项的系数和为(ab)n.3求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来定(1)xax 2x1x5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为()A40 B20C20 D40(2)(x2x1)9(2x1)4 的展开式中所有 x 的奇次幂的系数之和等于_，所有 x 的偶次幂(包括 x0)的系数之和等于_解析：(1)对于xax 2x1x5，可令 x1，得 1a2，所以 a1.2x1x5 的展开式的通项 Tr1Cr5(2x)5r1xrCr525r(1)rx52r.要得到展开式的常数项，则 x1x的 x 与2x1x5 展开式的1x相乘，x1x的1x与2x1x5 展开式的 x 相乘，故令 52r1，得 r3，令 52r1，得 r2，从而可得常数项为 C3522(1)3C2523(1)240.(2)设(x2x1)9(2x1)4a0a1xa2x2a3x3a22x22.令 x1，得 a0a1a2a2281；令 x1，得 a0a1a2a21a221，所以所有 x 的奇次幂的系数之和等于1281(1)41，所有 x 的偶次幂的系数之和等于1281(1)40.答案：(1)D(2)41 4003 课后 巩固提升
