1、高考资源网（） 您身边的高考专家21.1合情推理填一填1.归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理我们把它们统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”
2、的推理过程判一判1.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()2类比推理得到的结论可以作为定理使用()3归纳推理是由个别到一般的推理()4归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确()5由铜、铁、铝、金、银等金属能导电得到一切金属都能导电属于归纳推理()6鲁班发明锯利用的是归纳推理()7任意两个事物都可以用类比推理()8合情推理包括归纳推理和类比推理()想一想1.由已知数式进行归纳推理的步骤有哪些？分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征提炼出等式(或不等式)的综合特点运用归纳推理得出一般结论2解决数列中的归纳推理问题时，需注意哪些方
3、面？解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，然后求得a1，a2，a3，a4，的值或S1，S2，S3，S4，的值，根据这些结果进行归纳得到结果归纳时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论3如何使用类比推理？运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等
4、等4类比推理的三个特点是什么？类比推理结论的猜测性类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征出发，推测正在被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠类比在数学发现中具有重要作用例如，通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比，发现可以研究的问题及其研究方法类比推理的关键点由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征感悟体会练一练1.已知 2， 3， 4，.若 6(a，bR)，则()Aa5，b24 Ba6，b24Ca6，b35 Da5，b35解析：通过观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外
5、的数相同，而分母则为a的平方减1，a6，b62135，故选C.答案：C2观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A. BC. D解析：图中每行均有、三种图形，且每行均有两黑一白，所以空格内应画上图形，故选A.答案：A3平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比，可以得到()A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行解析：类比中，“平面”类比为“空间”“直线”类比为“平面”，由此可得到“空间中平行于同一个平面的两平面平行”，故选D.答案：D4在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比
6、正切的和角公式如：设a，b是非等实数，且满足tan，则等于()A4 B.C2 D.解析：将已知式变形，则有tantan，类比正切的和角公式，即tan()，可知只有当tan时，上式成立答案：D知识点一归纳推理1.根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113解析：观察题中的等式可知，等式右边各位上的数字均为1，位数跟等式左侧的第二个加数相同，所以123456971 111 111，故选B.答案：B2如图，在所给的四个选项中，最
7、适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为()解析：观察第一组的三个图形，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次向左移动一格，由第二组的前两个图，可知第三个图形应是A.答案：A3已知数列，(nN*)的前n项和为Sn.(1)求出S1，S2，S3，S4；(2)猜想该数列的前n项和Sn并证明解析：(1)S1，S2，S3，S4.(2)猜想Sn(nN*)证明如下：因为，所以Sn(nN*).知识点二类比推理4.在十进制中，2 0082103010201018100，那么五进制中的数码2 013折合成十进制为()A29 B258C602 D2 004解析：类比十进制得：253052151350258，故选
8、B.答案：B5设f(x).利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为_解析：因为6(5)11，所以f(5)，f(4)，f(5)，f(6)，共有12项，课本中推导等差数列前n项和的公式的方法是倒序相加法，即因为a1ana2an1a3an2ana1，令Sna1a2an，则Snanan1a1，所以2Sn(a1an)(a2an1)(ana1)n(a1an)，所以Sn.同理，因为f(x)f(1x).令Tnf(5)f(4)f(5)f(6)，则Tnf(6)f(5)f(4)f(5)，所以2Tnf(5)f(6)f(4)f(5)f(6)f(5)126.所以Tn
9、3.答案：36平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解析：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)四面体的体积V底面积高(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.知识点三归纳和类比的应用7.设n是自然数，则(n21)1(1)n的值()A一定是零B不一定是偶数C一定是偶数D是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，(n21)1(1)n0为偶
10、数；当n为奇数是(n2k1，kN)，(n21)1(1)n(4k24k)2k(k1)为偶数所以(n21)1(1)n的值一定为偶数答案：C8在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解析：在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.证明如下：cos2cos2cos22221.基础达标一、选择题1归纳推理和类比推理的相似之处为()A都是从一般到一般B都是从一般到特殊C都是从特殊到特殊D所得结论都不一定正确解析：类比推理是特殊到特殊的推理，归纳推理
11、是特殊到一般的推理，两者的结论都是推理而来的，不一定正确，故选D.答案：D2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A6n2B8n2C6n2 D8n2解析：由图可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，所以每个图中火柴棒的个数构成一个等差数列，首项为第一个图中火柴棒的个数8，公差d6，由此可推出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2，故选C.答案：C3在平面直角坐标系内，方程1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxb
12、ycz1解析：由方程1的结构形式，推出在空间直角坐标系中，平面方程的形式应为1，故选A.答案：A4图、图、图、图分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是()An22n1 B2n22n1C2n22 D2n2n1解析：观察题中给出的四个图形，图共有12个正方形，图共有1222个正方形；图共有2232个正方形；图共有3242个正方形；则第n个图中共有(n1)2n2，即2n22n1个正方形答案：B5通过计算数列1,121,12321,1234321的值，可以猜测an123(n1)n(n1)321的结果为()An2 Bn21C. Dn21
13、解析：112，121422，12321932，12343211642，以此类推，an123(n1)n(n1)321n2.故选A.答案：A6将正整数排成如下形式：12345678910111213141516则数字2 017出现在()A第44行第80列B第45行第80列C第44行第81列D第45行第81列解析：第1行的最后一个数字为112，第2行的最后一个数字为422，第3行的最后一个数字为932，4421 936,4522 025，且1 9362 0170，则数列dn：dn_(nN*)也是等比数列解析：在运用类比推理解决问题时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性，再用一类对象的
14、性质去推测另一类对象的性质，找出等差数列与等比数列在运算上的相似性：等差等比，求和求积，除法开方，故猜想dn，故填.答案：11设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可行：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).答案：12要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处均标上1，如图(1)所示；第二次把两段半圆弧分别二等分，在这两个分点处均标上2，如图(2)所示；第三次把4段圆弧
15、分别二等分，并在这4个分点处均标上3，如图(3)所示如此继续下去，当第n次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是_解析：由题意可得，第n次标完后，圆周上所有标出的数的总和为Tn1122322n2n1，设S122322n2n1，则2S121222323n2n，两式相减，得S12222n1n2n(1n)2n1S(n1)2n1，Tn(n1)2n2.答案：(n1)2n2三、解答题13已知下列一组等式：S11；S2235；S345615；S47891034；S5111213141565；S6161718192021111；(1)写出S7对应的等式；(2)求出Sn对应等式的第一项，并写出Sn对应的等式
16、解析：(1)S722232425262728175.(2)依题意，由等式可设出Sn对应等式的第一项为an，则anan1n1，由叠加法可得ana1(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)(n1)(n2)(n3)21，ana11.Sn.14在平面内观察凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角形，凸六边形有9条对角线由此猜想凸n(n4，nN*)边形有多少条对角线？解析：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形的对角线多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形的对角线多4条，于是猜想凸n边形的对角线比凸(n1)边形的对角线多(n2)条，由此猜想凸n边形的对角线条数为234
17、5(n2)n(n3)(n4,4N*).能力提升15.已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特征的性质，并加以证明解析：通过类比椭圆的性质，得到双曲线1具有以下性质：若M、N是双曲线1上关于原点O对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与定点P的位置无关的定值下面给出证明：设点M(m，n)，则N(m，n)，其中1.又设点P坐标为(x0，y0)，则kPM，kPN，k
18、PMkPN，又1，1，n2b2，y0b2kPMkPN(常数)kPMkPN是与定点P的位置无关的定值16设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)；表112372101(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值表2aa21aa22a1a2a2a2解析：(1)法一：12372101改变第4列得：12372101改变第2行得：12372101法二：12372101改变第2行，得：12372101改变第4列，得：12372101(写出一种即可)(2)每一列所有数之和分别为2,0，2,0，每一行所有数之和分别为1,1.如果操作第三列，则aa21aa22a1a2a2a2此时，第一行之和为2a1，第二行之和为52a.解得a1，a2.如果操作第一行，则aa21aa22a1a2a2a2此时，每一列之和分别为22a,22a2,2a2,2a2.解得a1，综上a1.- 11 - 版权所有高考资源网
