1、4 简单计数问题01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理解答排列组合问题首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题，还是排列与组合的综合问题，其次要抓住问题的本质特征1对于比较复杂的组合问题，常常不是简单地用一个组合公式就可以得到结果的，而需要分_，恰当地运用_、_、_，才能得到正确的计算式子，特别是对有一定限制条件的问题，列式时更要谨慎小心2较为复杂的排列组合应用题，往往通过_或_转化为简单的排列组合应用题，_是经常应用的选取程序各种情况两个基本计数原理排列数公式组合数公式分类分步先组合后排列双基自测1从 8 名女生和 4 名男生中，抽取 3 名学生参加某档电视
2、节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法数为()A224 B112 C56 D2825 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 2 人，则不同的站法种数为()A18 B20 C24 D48解析：将甲乙和中间站的人视为一个元素，与剩余 1 人进行全排列，故不同站法有 2A22A2324(种)B解析：根据分层抽样，从 12 个人中抽取男生 1 人，女生 2 人，所以取 2 个女生 1 个男生的方法有 C28C14112 种，故选 B.C3将 4 本不同的书摆在书架上，其中 A，B 两本书必须相邻的摆法有_种4甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法
3、共有_种解析：用间接法求得，C24C24C2430(种)12解析：先将 A、B 看成整体与另外两本书进行排列，再将 A、B 进行排列，共有 A33A2212 种摆法30探究一“先选后排法”的应用例 1(1)将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列，记第 i 个数为 ai(i1,2，6)，若 a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法种数为()A18 B30C36 D48(2)设集合 A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合 A 中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90C120 D130解析：(1)由于
4、 a1，a3，a5 的大小顺序已定，且 a11，a33，a55，所以 a1 可取 2,3,4，若 a12 或 3，则 a3 可取 4,5，当 a34 时，a56，当 a35 时，a56；若 a14，则 a35，a56.而其他的三个数字可以任意排列，因而共有(221)A3330 种排列方法(2)易知|x1|x2|x3|x4|x5|1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论其一：|x1|x2|x3|x4|x5|1，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5 中任取一个让其等于 1 或1，其余等于 0，于是有 C15C1210 种情况；其二：|x1|x2|x3|x4|x5|2，此时，从 x1，x2，x3，x
5、4，x5 中任取两个让其都等于 1 或都等于1 或一个等于 1、另一个等于1，其余等于 0，于是有 2C25C25C1240 种情况；其三：|x1|x2|x3|x4|x5|3，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5 中任取三个让其都等于 1 或都等于1 或两个等于 1、另一个等于1 或两个等于1、另一个等于 1，其余等于 0，于是有 2C35C35C13C35C2380 种情况由于 104080130，故答案为 D.答案：(1)B(2)D对于复杂的排列问题，先选出符合要求的元素，再考虑元素的顺序，实质是运用排列的定义，把事件分为两个步骤完成，这种方法常称之为“先选后排法”1(1)某城市的汽车牌
6、照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有()A(C126)2A410个 BA226A410个C(C126)2104 个DA226104 个(2)设集合 A1,2,3,4,5,6,7，映射 f：AA 满足 f(1)f(2)f(3)f(4)，则这样的映射 f 的个数为()AA47A33BC47C77DC4773解析：(1)英文字母可以相同，故有(C126)2 种选法，而数字有 09 共 10 个，不允许重复，故有 A410种排法，由分步乘法计数原理，满足要求的牌照号码共有(C126)2A410个，故选 A.(2)先从集合 A 中任取 4 个不同的元素作为
7、一个组合，并按从小到大的顺序赋为 1,2,3,4在映射 f 下的象，有 C47种方法，再依次为 5,6,7 确定象，有 73 种方法，故满足题意的映射 f 的个数为 C4773.答案：(1)A(2)D探究二 分组分配问题 例 2 有 6 本不同的书，按照以下需求处理，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人；(2)甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本；(3)一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(4)平均分成三堆(组)；(5)一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本解析(1)每人得 2 本，可考虑甲先在 6 本书中任取 2 本，取法有 C26种，再由乙在余下的书中取 2 本，取
8、法有 C24种，最后由丙取余下的 2 本书，有 C22种取法，由分步乘法计数原理可知共有 C26C24C2290 种分法(2)选取方法同(1)，所以共有 C16C25C3360 种分法(3)在(2)中甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本的基础上，考虑到甲、乙、丙三人的平等地位，让甲、乙、丙三人全排列调换位置，所以共有 C16C25C33A33360 种分法(4)由于三堆的位置并无差别，可用(1)的分法数除以 A33，所以共有C26C24C22A3315 种分法(5)共有 C16C25C3360 种分法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
9、部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除以 n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配2(1)有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法有_种(2)在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为_解析：(1)先考虑分组，即 10 人中选 4 人分为三组，其中两组各一人，另一组二
10、人，共有C110C19C28A22种分法再考虑排列，甲任务需 2 人承担，因此 2 人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可以承担乙任务又可以承担丙任务，所以共有C110C19C28A22A222 520种不同的选法(2)当两所 2 人一所 1 人时，有C25C23A33A22种，其中甲乙或丙丁在同一医院有 A334A33种；当一所 3 人两所 1 人时，有 C12C12A33种，故满足条件的分配方法总数为C25C23A33A22A334A33C12C12A3384.答案：(1)2 520(2)84探究三 排列组合的综合应用 例 3 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数和四个奇数(1)能
11、组成多少个没有重复数字的七位数？(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解析(1)分步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，可有 C34种情况；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，可有 C45种情况；第三步，把 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 A77种情况所以符合题意的七位数有 C34C45A77100 800(个)(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C34C45A33A5514 400(个)(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4
12、 个奇数也排在一起的有：C34C45A33A44A225 760(个).(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 奇数排好，再把 3 个偶数分别插入 5 个空当中，共有 C34C45A44A3528 800(个)解决排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题，除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；(7)平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略36 个人进 2 间屋子，求满足下列条件的分配方法各有多少种？(1)每屋内至少进 1 人；(2
13、)每屋都进 3 人解析：(1)解法一 按第 1 间屋子内进入的数目可分 5 类：进 1 人，2 人，3 人，4 人，5 人因此，要把这 5 类分配进屋的方法数加起来，对于每一类而言，如“第 1 间屋进 4 人，第 2 间进 2 人”这类分配方式，又可看成先派 4 人进入第 1 间屋，再派余下的 2 人进入第 2 间屋这样得到 C46C22种进屋方法，于是总共方法为C16C55C26C44C36C33C46C22C56C1162(种)解法二 从 6 人进 2 间屋子的各种分配方法数中减去不合题意的分配方法数来计算不合题意的分配方法只有 2 种，即 6 人全进第 1 间或全进第 2 间即间接法解得
14、：26262(种)(2)解法一 先派 3 人进第 1 间屋，再让其余 3 人进第 2 间屋，得分配方法为：C36C3320(种)解法二 先把 6 人平均分成两组，方法有：C36A22(种)，然后再分配到房间，共有C36A22A2220(种)因重复计算或遗漏计算致误 典例 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子中，则恰好有一个空盒子的放法有_种(用数字作答)解析 由题设，必有一个盒子内放入 2 个球，从 4 个球中取出 2 个球，有 C24种取法，此时把它看作一个球，与另 2 个球共 3 个球放入 4 个盒子中，有 A34种放法，所以满足题意的放法为 C24A34144(种)
15、答案 144错因与防范1.解答本题常见的错解与错因错解一：从 4 个球中任取 3 个球，有 C34种取法，从 4 个盒子中任取 3 个盒子，有 C34种取法，将 3 个球放入到取出的 3 个盒子中，有 A33种取法，剩下的 1 个球放入到 3 个盒子中的一个，有 3 种放法所以满足题意的放法有 C34C34A333288(种)此时犯了重复计数的错误错解二：将 3 个球放入 4 个盒子中，有 A34种放法，再把余下的 1 个球放到 3 个盒子中的一个，有 3 种放法，所以满足题意的放法有 A34372(种)此时犯了遗漏计数的错误2防范措施：认真审题，明确条件与所求，“先选后排”先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列，这样可有效地避免重复和遗漏用黄、蓝、白三种颜色粉刷 6 间办公室，一种颜色粉刷 3 间，一种颜色粉刷 2间，一种颜色粉刷 1 间，则粉刷这 6 间办公室，不同的安排方法有()A.C36C23C11A33 BC36C23C11CC36C23C11A33DA36A23A11解析：先固定一种粉刷方法，如黄色粉刷 3 间，蓝色粉刷 2 间，白色粉刷 1 间，则有 C36C23C11种，三种颜色互换有 A33种方法，由分步乘法计数原理知，不同的方案有 C36C23C11A33种故选 C.答案：C03 课后 巩固提升
