1、高考资源网（） 您身边的高考专家第四讲函数的奇偶性与周期性ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称知识点二函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
2、就叫做f(x)的最小正周期1奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)f(x)为偶函数；(2)f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)f(x)为奇函数2对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T(1)若f(xa)f(x)，则T2|a|；(2)若f(xa)，则T2|a|；(3)若f(xa)f(xb)，则T|ab|.3函数图象的对称关系(1)若函数f(x)满足关系f(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于直线x对称；(2)若函数f(x)满足关系f(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于点(，0)对称4一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x
3、)axax为偶函数，函数f(x)axax为奇函数；(2)函数f(x)为奇函数；(3)函数f(x)loga 为奇函数；(4)函数f(x)loga(x)为奇函数题组一走出误区1(多选题)下列结论正确的为(BCD)A若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)0B若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称C若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称D2是函数f(x)sin x，x(，0)的一个周期题组二走进教材2(必修1P35例5改编)函数f(x)x21，f(x)x3，f(x)x2cosx，f(x)|x|中，偶函数的个数是2.3(必修1P45T6改编
4、)若奇函数f(x)在区间a，b上是减函数，则它在b，a上是减函数；若偶函数f(x)在区间a，b上是增函数，则它在b，a上是减函数4(必修4P46T10改编)已知函数f(x)满足f(x3)f(x)，当x0,1时，f(x)log3(x23)，则f(2019)1.题组三考题再现5(2019全国卷，5分)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)(D)Aex1 Bex1Cex1 Dex1解析解法一：依题意得，当x0时，f(x)f(x)(ex1)ex1，选D解法二：依题意得，f(1)f(1)(e11)1e，结合选项知，选D6(2018全国卷，5分)已知f(x)是定义域为(，)的
5、奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)(C)A50 B0 C2 D50解析解法一：f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0.f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，f(x)是周期函数，且一个周期为4，f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C解法二：由题意可设f(x)2sin(x)，作出f(x)的部分图象如
6、图所示由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2，故选CKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一函数的奇偶性考向1判断函数的奇偶性自主练透例1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(1x)；(2)f(x)；(3)f(x)|x1|x1|；(4)f(x)(5)f(x)；(6)已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0.分析先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算
7、f(x)，再判断f(x)与f(x)之间的关系抽象函数常用赋值法判断解析(1)由题意得0且x1，10时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0.从而有f(x)，这时有f(x)f(x)，故f(x)为奇函数(6)已知对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取x0，y0，则有2f(0)2f(0)2，因为f(0)0，所以f(0)1.取x0，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)又yR，所以函数f(x)是偶函数名师点拨 判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也
8、不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(x)是否等于f(x)或f(x)，据此得出结论(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)考向2函数的性质的综合应用多维探究角度1利用奇偶性求参数的值或取值范围例2 (1)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，则ab(B)A B C D(2)已知f(x)是R上的奇函数，则f(a)的值为
9、(A)A B C D解析(1)依题意b0，且2a(a1)0，a，则ab.(2)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，得a3，所以f(x).所以f(a)f(3).故选A角度2函数奇偶性与单调性结合例3 (1)若f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且x0,1)时f(x)为减函数，则不等式f(x)f(x)0的解集为(C)A(，) B(1，)C(，1) D(，1)(2)(2020新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是(A)A(，) B，)C(，) D，)解析(1)由已知得f(x)在(1,1)上为递减，f(x)f(x)0，f(x)f(
10、x)，解得x1，故选C(2)由yf(x)图象知，x离y轴越近，函数值越小，因此，|2x1|，解得x，故选A角度3函数奇偶性与周期性结合例4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x3)，当1x3时，f(x)cos ，则f(2 020).分析先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把f(2 020)转化为f(4)，进而转化为f(2)，把x2代入即可解析由已知可得f(x6)f(x3)3)f(x)，故函数f(x)的周期为6，f(2 020)f(63364)f(4)f(x)为偶函数，f(1)f(1)，则f(4)f(13)f(2)cos ，f(2 020).角度4单调性、奇偶性和周期性结合例5
11、 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，则(D)Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)分析解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(
12、1)，即f(25)f(80)f(11)名师点拨 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1函数单调性与奇偶性结合注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性2周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解3周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解变式训练1(1)(角度1)(2019北京，13,5分)设函数f(x)exaex(a为常数)若f(x)为奇函数，则a1.(2)(角度2)(2019广东省广州市高三测试，9)若f(x)是定义在R上的奇函
13、数，f(3)0，且在(0，)上是增函数，则xf(x)f(x)0的解集为(D)Ax|3x3Bx|x3或0x3Cx|x3Dx|3x0或0x3(3)(角度3)(2020广东六校第一次联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)及f(x)f(x)，且在0,1上有f(x)x2，则f()(D)A B C D(4)(角度4)(2020湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，且yf(x3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是(B)Af(4.5)f(3.5)f(12.5)Bf(3.5)f(4.5)f(12.5)Cf(12.5)f
14、(3.5)f(4.5)Df(3.5)f(12.5)f(4.5)解析(1)f(x)exaex为奇函数，f(x)f(x)0，即exaexexaex0，(a1)(exex)0，a1.(2)因为函数为奇函数，所以xf(x)f(x)0等价于2xf(x)0，由题设知f(x)在R上是奇函数，且在(0，)上是增函数，又f(3)0，所以f(3)0，且f(x)在(，0)上是增函数，即f(x)在(，3)上小于零，在(3，0)上大于零，在(0,3)上小于零，在(3，)上大于零又xf(x)f(x)0可得x(0,3)；由x0可得x(3,0)，所以xf(x)f(x)0的解集是x|3x0或0x3，故选D(3)因为函数f(x)
15、的定义域是R，f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数又f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f()f(2 020)f()f()因为在0,1上有f(x)x2，所以f()()2，故f(2 019 )，故选D(4)易知函数f(x)的最小正周期T6，f(x)的图象关于直线x3对称，f(3.5)f(2.5)，f(4.5)f(1.5)，f(12.5)f(0.5)又f(x)在(0,3)内单调递减，f(3,5)f(4.5)f(12.5)，故选B考点二函数的周期性自主练透例6 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2
16、)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2 022)2.(2)已知定义在R上周期为3的奇函数f(x)，则f(1.5)0.(3)设f(x)是周期为2的偶函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，当4x3时，f(x)2(x4)(x3)，当2 019x2 020时，f(x)2(2_020x)(x2_019).解析(1)f(x)f(x4)，yf(x)的周期T4，f(2 022)f(45052)f(2)2.(2)f(1.5)f(1.5)f(1.53)f(1.5)，f(1.5)0.(3)设4x2，f(x)f(x4)2(x4)1(x4)2(x4)(x3)，设2019x0，给出下列命题：直线x6是函数yf(x)
17、的图象的一条对称轴；函数yf(x)在9，6上为增函数；函数yf(x)在9,9上有四个零点其中所有正确命题的序号为.解析对于任意xR，都有f(x6)f(x)f(3)成立，令x3，则f(36)f(3)f(3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)0.所以f(x6)f(x)，所以f(x)的周期为6，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x6)f(x)，而f(x)的周期为6，所以f(x6)f(6x)，f(x)f(x6)，所以f(6x)f(6x)，所以直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴，故正确当x1，x20,3，且x1x2时，都有0，所以函数yf(x)在0,3上为增函数，因为f(x)是R上
18、的偶函数，所以函数yf(x)在3,0上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数yf(x)在9，6上为减函数，故错误，f(3)0，f(x)的周期为6，所以f(9)f(3)f(3)f(9)0，函数yf(x)在9,9上有四个零点，故正确名师点拨 函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题变式训练2定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且函数yf(x)为奇函数，给出下列命题：函数f(x)的最小正周期是；函数yf(x)的图象关于点(，0)对称；函数yf(x)的图象关于y轴对称其中真命题的个数是(C)A0 B1 C2 D3解析由f(x)f(x)0知f(x)为周期函数，且周期为3，故不正确；由函数yf(x)为奇函数，知f(x)关于(，0)对称，故正确；由f(x)关于(，0)对称，可知f(x)f(x)0，又f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x)f(x)，或f(x)是奇函数，f(x)f(x)，又f(x)f(x)0，即f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)即f(x)f(x)f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故正确- 10 - 版权所有高考资源网
