1、21.1椭圆及其标准方程想一想1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的集合描述：设点M是椭圆上任意一点，点F1，F2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合PM|MF1|MF2|2a,0|F1F2|2a2椭圆的标准方程的推导过程如图，给定椭圆，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|2c(c0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(ac)(1)建系：以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.那么焦点F1，F2的坐标分
2、别为(c,0)，(c,0)(2)列式：设M(x，y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF1|MF2|2a，即2a.(3)化简：上式整理可得1.令b2a2c2，可得1(ab0)3椭圆的标准方程椭圆的标准方程有两种形式：(1)焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)，焦点为F1 (c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，且a2b2c2，如图1所示；(2)焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)，焦点为F1 (0，c)，F2 (0，c)，焦距为2c，且a2b2c2，如图2所示注：椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆正数a，b，c恰好构成一个直角三角形，其中
3、a是斜边，所以ab，ac且a2b2c2，其中c是焦距的一半对于图2中的椭圆，关系式ab，ac且a2b2c2也成立.判一判1.已知F1，F2为两定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是椭圆()解析：虽然动点M到两个定点F1，F2的距离之和为常数6，但由于这个常数等于|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2，故错误2椭圆2x23y26的焦点在x轴上()解析：椭圆的标准方程为1，焦点在x轴上，故正确3方程1表示椭圆()解析：x2与y2的分母相等表示圆不表示椭圆，故错误4椭圆1的焦点为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是20.()解析：因为弦AB过
4、点F1，所以由椭圆的定义可知，所以|AB|AF2|BF2|4a20，故ABF2的周长为20.故正确5曲线1与曲线1(k9)的焦距相等()解析：1表示焦点在x轴上的椭圆，a225，b29，则c225916，所以c4，焦距为8；1(k16.所以椭圆的焦点在x轴上故错误.想一想1.平面内动点M到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a,2a|F1F2|,2a|F1F2|，则M的轨迹是什么？提示：当2a|F1F2|时，M的轨迹是线段F1F2；当2a0，n0且mn；表示焦点在y轴上的椭圆m0，n0且m0，n0且mn.总之，把方程化为标准形式，在x2与y2的分母中，若x2的分母大，则焦点在x轴上；若y2的
5、分母大，则焦点在y轴上4在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？提示：不一定，只要ab，ac即可，b，c大小关系不定思考感悟：练一练1已知F1，F2是定点，|F1F2|8，动点M满足|MF1|MF2|10，则动点M的轨迹是()A椭圆 B直线C圆 D线段解析：因为|MF1|MF2|10|F1F2|，所以点M的轨迹是椭圆，故选A.答案：A2已知a，c2，则该椭圆的标准方程为()A.1 B.1或1C.y21 D.y21或x21解析：由题可知b2a2c21，当焦点在x轴上时，椭圆方程为y21；当焦点在y轴上时，椭圆方程为x21.故选D.答案：D3已知椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，则k_.解析：
6、易知k0，椭圆方程可化为x21，所以a2，b21.又c2，所以14，所以k1.答案：14已知椭圆的焦点是F1(1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，则|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则该椭圆的方程是_解析：由题意得2|F1F2|PF1|PF2|，所以4c2a4，所以a2.又c1，所以b2a2c23，故椭圆方程为1.答案：1知识点一椭圆的定义及简单应用1.已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|PB|2a(a0)，给出下列说法：当a2时，点P的轨迹不存在；当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；当
7、a3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆其中正确的说法是()A BC D解析：当a2时，2a4|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|6，错误，正确；当a3时，点P的轨迹为线段AB，错误答案：B2已知椭圆1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A2 B3C5 D7解析：由椭圆方程知a5，根据椭圆定义有|PF1|PF2|2a10.若|PF1|3，则|PF2|7.答案：D3设F1，F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为()A16 B18C20 D不确定解析：a5，b3，c4又|PF1|PF2|2a10，|F1F2|2c8，PF1F2的周长为|PF1|
8、PF2|F1F2|2a2c10818，故选B.答案：B4已知椭圆1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是()A2 B4C8 D.解析：设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|ME|10，|MF|2，|ME|8，又ON为MEF的中位线，|ON|ME|4.答案：B知识点二求椭圆的标准方程5.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A(0，) B(0,2)C(1，) D(0,1)解析：方程x2ky22可化为1，若焦点在y轴上，则必有2，且k0，即0k1.答案：D6写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a5，c2；(2)经过P1(，
9、1)，P2(，)两点；(3)以椭圆9x25y245的焦点为焦点，且经过点M(2，)解析：(1)由b2a2c2，得b225421.椭圆的标准方程为1或1(2)方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)由已知，得即所求椭圆的标准方程是1.当焦点在y轴上时，设椭圆方程为1(ab0)，由已知，得与ab0矛盾，此种情况不存在综上，所求椭圆的标准方程是1.方法二：由已知，设椭圆的方程是Ax2By21(A0，B0，AB)，故即所求椭圆的标准方程是1.(3)方法一：方程9x25y245可化为1，则焦点是F1(0,2)，F2(0，2)设椭圆方程为1(ab0)，点M在椭圆上，2a|MF1|MF2|(2)(
10、2)4，a2，即a212，b2a2c21248，椭圆的标准方程为1.方法二：由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，2)，设所求椭圆方程为1(0)，将x2，y代入，得1，解得8或2(舍去)所求椭圆的标准方程为1.基础达标一、选择题1已知甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|PB|2a，其中a为大于0的常数；乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a0，为常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，为常数)，当2a|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a|AB|时，
11、点P的轨迹是线段AB；当2a2)，则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段解析：因为m2，所以m24，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆故选A.答案：A3已知椭圆1(m0)的左焦点为F(3,0)，则m()A9 B4C3 D2解析：依题意，椭圆焦点在x轴上，且c3，因此25m29，解得m4.故选B.答案：B4化简方程10为不含根式的形式是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6,610m0，解得6msin 0，tan 1，012，所以G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点，所以2c|BC|12，c6,2a20，a10，b2a2c21026264，故G点的轨迹方程为1，去掉(10,0)，(10,0)两点，又设G(x，y)，A(x，y)，则有1.由重心坐标公式知故点A的轨迹方程为1.即1，去掉(30,0)，(30,0)两点
