1、江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学下学期3月线上考试试题（含解析）一、选择题.（每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1.某地区对当地3000户家庭的2018年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为20，40），40，60），60，80），80，100，则年收入不超过6万的家庭大约为（ ） A. 900户B. 600户C. 300户D. 150户【答案】A【解析】【分析】先计算年收入不超过6万的家庭的频率,再根据样本估计总体的方法求解即可.【详解】由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为（
2、0.005+0.010）200.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为30000.3900户.故选：A.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,属于基础题.2.计算的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先用诱导公式将化为，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】 故选：B【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.3.已知向量，满足（x，1），（1，2），若，则（）A. （4，3）B. （0，3）C. （，3）D. （4，3）【答案】C【解析】【分析】根据（x，1），（1，2），且，求得向量的坐标，再求的坐标.【详解】因为（x，1），（1，2），且
3、，所以 ，所以 ，所以（，1），所以.故选：C【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A. 75万元B. 85万元C. 99万元D. 105万元【答案】B【解析】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可详解：由题意得，样本中心为回归直线过样本中心，解得，回归直线方程为当时，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元故选B点睛：本题
4、考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题5.已知函数f（x）3x+x，g（x）log3x+x，h（x）x3+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）A. abcB. bcaC. cabD. bac【答案】B【解析】分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图像的交点比较大小即可.【详解】f（x）3x+x0,则x3x,g（x）log3x+x,则xlog3x,h（x）x3+x,则xx3,函数f（x）,g（x）,h（x）的零点分别为a,b,c,作出函数y3x,ylog3x,yx3,yx的图象如图,由图可知：bca,故选：B.【点睛】
5、本题主要考查了函数零点的运用以及数形结合求解函数值大小的问题,属于中档题.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.20.7，1g0.30.5，1g0.70.15，1g0.80.1）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】根据
6、题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，两边取对数得， ， ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.7.已知0，0，直线和是函数f（x）sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，若将函数f（x）图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，则得到的图象的函数解析式是（
7、 ）A. B. C. y2cos2xD. 【答案】A【解析】【分析】根据题意先求得的周期,再根据三角函数图像变换的方法求解析式即可.【详解】直线和是函数f（x）sin（x+）图象的两条相邻的对称轴,周期T2（）2,即,得1,则f（x）sin（x+）,由五点对应法得,得,即f（x）sin（x）,若将函数f（x）图象上每一点的横坐标变为原来的倍,得到ysin（2x）,然后纵坐标变为原来的2倍,得到y2sin（2x）,故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解参数以及三角函数变换方法等.属于中档题.8.已知中，角、的对边分别为、，若，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
8、解析】分析：利用求得 由正弦定理转化为、的表达式，利用三角形内角和定理华为同一个角的三角函数，即可得到的取值范围.详解：由题，可得 由正弦定理可得，且 则 故选B.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变形的应用，属于基础题9.已知函数f（x）x2+bx，若f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是（ ）A 0，2B. 2，0C. （，20，+）D. （，02，+）【答案】D【解析】【分析】先求得的最小值,再根据二次函数对称轴与值域的关系列出不等式求解即可.【详解】由于f（x）x2+bx,xR.则当x时,f（x）min,又函数yf（f（x）的最小值与函数yf
9、（x）的最小值相等,则函数y必须要能够取到最小值,即,得到b0或b2,所以b的取值范围为b|b2或b0.故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质运用,需要分析到对称轴满足的关系式,属于常考题.10.给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面；棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据常见几何体的性质逐个判定即可.【详解】对于,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,但不一定是全等平行四边形,所
10、以错误；对于,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台,所以错误；对于,半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,正确；对于,棱台的侧棱延长后交于一点,但侧面不一定是等腰梯形,所以错误.综上知,正确的命题序号是.故选：D.【点睛】本题主要考查了常见几何体的性质判定,属于基础题.11.抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）A. A与B是互斥事件但不是对立事件B. A与C是互斥事件也是对立事件
11、C. A与D是互斥事件D. C与D不是对立事件也不是互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了互斥与对
12、立事件的判定,属于基础题.12.下列说法中正确的有（ ）A. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为B. 用斜二测法作ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则ABC面积为C. 三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分D. 已知四点不共面，则其中任意三点不共线【答案】ACD【解析】【分析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可.对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可.对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可.对D,利用反证法证明即可.【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S底面积611sin60；又侧棱长为,则棱锥的高h2,所以该棱锥的体积为VS底面
13、积h2,A正确；对于B,水平放置直观图是边长为a的正三角形,直观图的面积为Sa2sin60,则原ABC的面积为S2S2a2a2,所以B错误；对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D正确；
14、综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题.13.下列函数对任意的正数，满足的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)【详解】A，A正确；B，B正确；C时，C错；D，D正确故选：ABD【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明二、填空题（每小题4分，共16分）14.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则为锐角的概率是_【答案】【解析】连掷
15、两次骰子分别得到点数m,n,所组成的向量(m,n)的个数共有36种由于向量(m,n)与向量(1,1)的夹角为锐角,(m,n)(1,1)0，即mn，满足题意的情况如下：当m=2时，n=1；当m=3时，n=1，2；当m=4时，n=1，2，3；当m=5时，n=1，2，3，4；当m=6时，n=1，2，3，4，5；共有15种，故所求事件的概率为： .15.若等腰ABC的周长为3，则ABC的腰AB上的中线CD的长的最小值为_【答案】【解析】【分析】画图利用三角形三边的关系以及余弦定理分析求解即可.【详解】如图所示,设腰长AB2x,则BC34x0,解得0x；由中线长定理可得：2CD2+2x2（2x）2+（3
16、4x）2,化为：CD29（x）2；x时,CD取得最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用三角形三边之间的关系与余弦定理求解线段长度的最值问题等,需要建立关于所求线段的等式再根据函数的最值分析.属于常考题.16.用一张长为12，宽为8的铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为_；半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_【答案】 (1). 或 (2). 【解析】【分析】根据底面周长等于铁皮的边长,进而求得底面半径,再计算体积即可.根据圆锥底面周长等于扇形弧长列式求解即可.【详解】若圆柱的底面周长为12,则底面半径为r,高为h8,此时圆柱的体积为Vr2h；若圆柱的底面周长为
17、8cm,则底面半径为r,h12,此时圆柱的体积Vr2h；所以圆柱的体积为或；半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,所以底面圆的半径r满足2rR,即2rR；所以该圆锥筒的轴截面是边长为R的等边三角形,则其高为hR.故答案为：(1)或;(2)R.【点睛】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积与周长等的关系,属于常考题.17.对于函数yf（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）1成立，则称函数f（x）具有性质M（1）下列函数中具有性质M的有_f（x）x+2f（x）sinx（x0，2）f（x）x，（x（0，+）f（x）（2）若函数f（x）a（|x2|1）（x1，+）具有性质M，则实数a的取值范围是_【
18、答案】 (1). (2). a或a0【解析】【分析】（1）因为f（x）x+2，若存在，则，解一元二次方程即可.若存在，则，即，再利用零点存在定理判断.若存在，则，直接解方程.若存在，则，即，令，再利用零点存在定理判断.（2）若函数f（x）a（|x2|1）（x1，+）具有性质M，则ax（|x2|1）=1，x1，+）有解，将问题转化 ：当 时， 有解，当 时， 有解，分别用二次函数的性质求解.【详解】（1）因为f（x）x+2，若存在，则，即，所以 ，存在.因为f（x）sinx（x0，2），若存在，则，即，令，因为，所以存在 .因为f（x）x，（x（0，+），若存在，则，即，所以不存在.因为f（x）
19、，（x（0，+），若存在，则，即，令，因为，所以存在.（2）若函数f（x）a（|x2|1）（x1，+）具有性质M，则ax（|x2|1）=1，x1，+）有解，当 时， 有解，令 ，所以 .当 时， 有解，令 ，所以 .综上：实数a的取值范围是a或a0.故答案为：(1). (2). a或a0【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题.（共82分）18.某校有教师400人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下：学历35岁以下35-55岁55岁及以上本科6040硕士8040(1)若随机抽取一人，年龄是35岁以下的概率为，求；(2)在35-55
20、岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名教师中任选2人，求两人中至多有1人的学历为本科的概率.【答案】（1）20；（2）【解析】分析：（1）(1)由由古典概型概率公式，解得,故；（2）由分层抽样的规律可知，需学历为研究生的2人，记为，学历为本科的3人，记为的，列举可得总的基本事件，找出符合题意得基本事件，由古典概型公式可得.详解：(1)由已知可知，解得,故.(2)由分层抽样的规则可知，样本中学历为硕士的人数为人，记为,学历为本科的人数为人.记为,从中任选2人所有的基本事件为共10个，设“至多有1人的学历为本科”为事件，则事件包含的基本事件为，共7个
21、.所以.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 总体中个体差异明显，层次分明适合分层抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.19.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角A；（2）若ABC外接圆的面积为4，且ABC的面积，求ABC的周长【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角函数和差角公式化简求解即可.(2)利用正弦定理可得,再结合面积公式与余弦定理求解即可.【详解】解：（1）法一：已知,由正弦定理得2sinAcosB2sinCsinB2sin（A+B）sinB,可得：2cosAsinBsinB0,可得
22、：sinB（2cosA1）0,sinB0,A（0,）,.法二：已知由余弦定理得,可得：a2b2+c2bc又a2b2+c22bccosA,A（0,）,. （2）由ABC外接圆面积为R24,得到R2,由正弦定理知,.ABC的面积,可得bc8. 法一：由余弦定理得a2b2+c22bccosA（b+c）23bc,即12（b+c）224从而b+c6,故ABC的周长为.法二：由余弦定理得a2b2+c22bccosAb2+c2bc,即b2+c220从而或,故ABC的周长为.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式等在解三角形中的运用,属于中档题.20.如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且.（1
23、）求证：四点共面；（2）设与交于点，求证：三点共线.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都平行于BD，利用平行线的传递性得到EFGH，据两平行线确定以平面得证（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证试题解析：证明：（1）因为分别为的中点，所以.在中，所以，所以.所以四点共面.（2）因为，所以，又因为平面，所以平面，同理平面，所以为平面与平面的一个公共点.又平面平面.所以，所以三点共线.21.已知奇函数f（x），函数g（）cos2+2sin，m，m，bR（1）求b的值；（2）判断函数f（x
24、）在0，1上的单调性，并证明；（3）当x0，1时，函数g（）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围【答案】（1）b0；（2）在0，1上的单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据函数f（x）为奇函数，令f（0）0求解. （2）函数f（x）在0，1上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.（3）根据（2）知，函数f（x）在0，1上的单调递增，得到即g（）的最小值为，再令tsin，转化为二次函数求解.【详解】（1）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（0）0，解得b0（2）函数f（x）在0，1上的单调递增证明：设则：f（x2）f（x1），因为，所以x2x10，1x1x20，所以
25、，即f（x2） f（x1），所以函数f（x）在0，1上的单调递增（3）由（2）得：函数f（x）在0，1上的单调递增，所以所以g（）的最小值为令tsin，所以y的最小值为，令解得所以，即，所以 又因为m，m，bR，所以【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.22.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设试用表示木棒的长度（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值【
26、答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W在中用NW和表示出NS，在中用PQ和表示出QS，然后分别看S在线段TG上和在线段GT的延长线上分别表示出TS=QT-QS，然后在中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表达式和的表达式（2）设出，则可用t表示出，然后可得关于t的表达式，对函数进行求导，根据t的范围判断出导函数与0的大小，进而就可推断出函数的单调性；然后根据t的范围求得函数的最小值试题解析：如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足
27、为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，在中，因为NW=2，所以，因为MN与圆弧FG切于点P，所以，在中，因为PQ=1，所以，若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QT-QS，在中，因此若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，在中，因此（2）设，则，因此因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以即所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为考点：解三角形的实际应用23.已知函数yf1（x），yf2（x），定义函数f（x）（1）设函数f1（x）x+3，f2（x）x2x，求函数yf（x）的解析式；（2）在（1
28、）的条件下，g（x）mx+2（mR），函数h（x）f（x）g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；（3）设函数f1（x）x22，f2（x）|xa|，函数F（x）f1（x）+f2（x），求函数F（x）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据函数f（x）的定义，两个函数中取小的.（2）函数h（x）f（x）g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）g（x）有三个不同的实数根，因为函数 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.（3）根据题意F（x）按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.【详解】（1）f1（x）x+3，当f1（x）f
29、2（x），即x3或x1时，f（x）x+3，当f1（x）f2（x），即1x3时，综上：（2）函数h（x）f（x）g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）g（x）有三个不同的实数根，因为函数，函数g（x）mx+2（mR），所以当x1或x3时，mx+2x+3恰有一个实数解，所以或，解得，当1x3时，mx+2x2x恰有两个不同的实数解，即当1x3时x2（m+1）x2=0恰有两个不同的实数解，设函数h（x）x2（m+1）x2，由题意可得，所以，解得，综上，m的取值范围为（3）F（x）f1（x）+f2（x）x2+|xa|2若a，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为；若，则函数F（x）在（，a）上是单调减函数，在（a，+）上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为F（a）a22；若，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，此时，函数F（x）的最小值为；综上：【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.
