1、天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数A. B.C. D. 【答案】D【Ks5U解析】,选D.2. 条件甲：；条件乙：，则甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【Ks5U解析】当能得到，但当时，不妨取满足，但不满足，所以甲是乙的必要而不充分条件选C. 3. 设x，y满足，则A. 有最小值2，最大值3B.
2、 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【Ks5U解析】由得.做出不等式对应的平面区域阴影部分，平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最小，为，无最大值，选B. 4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】A【Ks5U解析】第一次循环为;第二次循环为;第三次循环为;第四次循环为;第五次循环，不满足条件，输出.选A. 5. 已知等比数列an的首项为1，若成等差数列，则数列的前5项和为A. B. 2C. D. 【答案】A【Ks5U解析】因为成等差数列，所以，即，所以，即，所以，所以
3、，所以的前5项和，选A. 6. 将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为A. B. C. D. 【答案】B【Ks5U解析】函数的图像向右平移个单位得到，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍得到，此时 关于直线对，即当时，所以，所以当时，的最小正值为，选B.7. 设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线=1的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为A. 2B. C. D. 【答案】D【Ks5U解析】由题意知，不妨取双曲线的渐近线为，由得.因为，所以，即，解得，即，所以，即，所以离心率，选D.8. 若直角坐标平面内的两点P、Q满
4、足条件：P、Q都在函数的图像上；P、Q关于原点对称，则称点对P,Q是函数的一对“友好点对”（注：点对P,Q与Q,P看作同一对“友好点对”）.已知函数，则此函数的“友好点对”有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】C 【Ks5U解析】解：根据题意：当时，则, 若P、Q关于原点对称，可知，函数为奇函数，可有，即，则函数的图象关于原点对称的函数是,由题意知，作出函数的图象，看它与函数交点个数即可得到友好点对的个数由图象可知它们的图象交点个数为2个，所以此函数的“友好点对”有2对，选C. 第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 某单位共有老、中、
5、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_； 【答案】18【Ks5U解析】由题意知，中年职工和老年职工共有270人，则老年职工人数为90人.则抽出老年职工人数为，则，解得.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_； 【答案】80【Ks5U解析】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体四棱锥的高3，正方体棱长为4,所以正方体的体积为.四棱锥的体积为，所以该组合体的体积之和为. 11. 若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的
6、切线互相垂直，则线段AB的长度是_； 【答案】4【Ks5U解析】由题知，且，又，所以有，所以.12. 已知函数在区间上是减函数，那么的最大值为_； 【答案】【Ks5U解析】函数的导数为，因为函数在区间上是减函数，所以在上横成立.则有，即，设，则.做出不等式对应的平面区域BCD,如图，平移直线，由图象平移可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大.由，解得，即，代入得，即的最大值为.13. 如图所示，在平行四边形ABCD中，垂足为P，且，则=_； 【答案】18【Ks5U解析】设，则，=.14. 设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和.记，设为数列Tn的最大项，则n0=_；【答案】4 【
7、Ks5U解析】设首项为，则，所以，因为，当且仅当，即，时取等号，此时,有最大值，所以.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知函数（1）求的单调递增区间；（2）在ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，b,a,c成等差数列，且，求a的值. 16. （本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲得分为，求的分布
8、列和数学期望. 17. （本小题满分13分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC平面ABCD.（1）求证：AB平面PBC；（2）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小；（3）在棱PB上是否存在点M使得CM/平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. （本小题满分13分）如图F1、F2为椭圆的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点F1的直线l，
9、使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 19. （本小题满分14分）已知函数，其中无理数e=2.71828.（1）若p=0，求证：；（2）若在其定义域内是单调函数，求p的取值范围；（3）对于在区间（1,2）中的任意常数p，是否存在使得成立？若存在，求出符合条件的一个x0；若不存在，请说明理由. 20. （本小题满分14分）已知数列an的前n项和，数列bn满足.（1）求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，证明：且时，；（3）设数列cn满足（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意，都有.数学发展性试题（理科）：
10、（15分） 1. 若且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 2. 对于各数互不相等的整数数组（n是不小于3的正整数），若对任意的p，当时有，则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2,3,1）的逆序数等于2.若数组的逆序数为n，则数组的逆序数为_； 3. 定义在上的函数，当时.若，则P,Q,R的大小关系为_.【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案DCBAABDC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 18 10. 80 11. 4 12. 13. 18 14. 4三、解答题：
11、本大题共6小题，共80分. 15. 解：（1）令的单调递增区间为（2）由，得，由b,a,c成等差数列得2a=b+c，由余弦定理，得， 16. 解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，所以甲获第一的概率为丙获第二，则丙胜乙，其概率为，所以甲获第一名且丙获第二名的概率为（2）可能取的值为0,3,6.所以的分布列为036PE= 17. 解：（1）证明：因为，所以ABBC因为平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD=BC，AB平面ABCD，所以AB平面PBC.（2）如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以POBC.因为PB=PC，所以POBC，因为平面PBC平面ABCD，所以PO平面A
12、BCD.以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得，.所以，设平面PAD的法向量为.因为，所以令，则.所以.取平面BCP的一个法向量，所以所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为（3）在棱PB上存在点M使得CM/平面PAD，此时.取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN/PA，AN=AB.因为AB=2CD，所以AN=CD，因为AB/CD，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN/AD.因为MNCN=N，PAAD=A，所以平面MNC/平面PAD.因为CM
13、平面MNC，所以CM/平面PAD.18. 解：（1）由题意得，故，故，即a=2，所以b=1，c=，故椭圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为联立解得或，不妨令，所以对应的“椭点”坐标.而.所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为联立，消去y得：设，则这两点的“椭点”坐标分别为，由根与系数的关系可得：，若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点，则OPOQ，而，因此，即即=0，解得所以直线方程为或 19. 解：（1）证明：当p=0时，.令，则若，则，在区间上单调递增；若，则，在区间上单调递减.易知，当x=1时，取得极大值，也是最大值.于是，即，
14、即故若p=0，有（2），令当p=0，则在上单调递减，故当p=0时符合题意；若p0，则当，即时，在x0上恒成立，故当时，在上单调递增；若p0上恒成立，故当p0使得成立，故只需满足即可.因为而，故，故当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增.易知与上述要求的相矛盾，故不存在使得成立. 20. 解：（1）在中，令n=1，可得，即当时，即.，即当时，.又，数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是，.（2）由（1）得，所以 由得于是确定Tn与的大小关系等价于比较与2n+1的大小由可猜想当时，.证明如下：证法1：当n=3时，由上验算显示成立.假设n=k+1时所以当n=k+1时猜想也成立综合可知，对一切的正整数，都有.证法2：当时 综上所述，当n=1,2时，当时（3） 当n=2k1，k=1,2,3,时，式即为 依题意，式对k=1,2,3都成立，当n=2k,k=1,2,3,时，式即为 依题意，式对k=1,2,3都成立， ，又存在整数，使得对任意有.数学发展性试题 1. D 2. 3.
