1、2 微积分基本定理01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理微积分基本定理如 果 连 续 函 数f(x)是 函 数F(x)的 导 函 数，即f(x)F(x)，则 有abfxdx .定理中的式子称为_ _，通常称 F(x)是 f(x)的一个_在计算定积分时，常常用记号 F(x)|ba来表示 F(b)F(a)，于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作abf(x)dxF(x)|ba_.F(b)F(a)牛顿-莱布尼茨公式原函数F(b)F(a)双基自测1.(sin xcos x)dx 等于()A0 B1 C1 D2解析：(sin xcos x)dx sin xdx cos xdx(cos
2、 x)|sin x|000.答案：A2计算20 xxsincos22 2dx()A.2B.21 C2D0解析：因为sinx2cosx22sin2x22sinx2cosx2cos2x21sin x，所以20 xxsincos22 dx20(1sin)xdx20 x(cos x)20 21.答案：B3若01(2xk)dx2k，则实数k的值为()A.12B12C1 D0解析：因为01(2xk)dx2k，所以 x210 kx10 2k，所以 1k2k，所以 k12.答案：A4若aaa(2x1)dx8，则 a_.解析：因为aa(2x1)dx8，所以(x2x)aa 8，所以(a2a)(a2a)8，所以 a
3、4.4探究一 用微积分基本定理计算定积分 例 1 计算下列定积分：(1)01cos xdx；(2)01(2x1)dx；(3)12(2x1x)dx.解析(1)取F(x)sin x，(sin x)cos x，01cos xdxsin x|10sin 1sin 0sin 1.(2)取F(x)x2x，(x2x)2x1，01(2x1)dx(x2x)|10(11)02.(3)(x2)2x，12(2x1x)dx122xdx121xdxx2|21ln|x|2141ln 2ln 13ln 2.计算定积分时注意两点：一是注意确定原函数F(x)；二是注意积分区间，最后结果是F(x)在a，b上的改变量F(b)F(a)
4、1求下列定积分：(1)31(3x22x1)dx；(2)20sin xdx；(3)12 1x2dx.解析：(1)31(3x22x1)dx(x3x2x)|31(2793)(111)24.(2)20sin xdx(cos x)201.(3)12 1x2dx1x|21(121)12.探究二 分段函数的定积分 例 2(1)若 f(x)x2，x0，cos x1，x0，求 11dfxx；(2)201sin 2xdx.解析(1)11f(x)dx01x2dx01(cos x1)dx13x3|01(sin xx)|1023sin 1.(2)201sin 2xdx20sin xcos x2dx20|sin xcos
5、 x|dx40|sin xcos x|dx24|sin xcos x|dx40(cos xsin x)dx24(sin xcos x)dx(sin xcos x)40(cos xsin x)242(21)对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和要注意各段定积分的上、下限的取值区间对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分若是计算ab|f(x)|dx，需要去掉绝对值符号，这时要讨论 f(x)的正负，转化为分段函数求原积分问题2(1)计算定积分02|x21|dx；(2)求136x(x 1x)2dx.解析：(1)因为 f(x)|x21|x1|x1|x21，
6、x1.所以02|x21|dx01(1x2)dx12(x21)dx011dx01x2dx12x2dx121dxx|1013x3|1013x3|21x|2111313(81)(21)113831312.(2)原式136(x22x1)dx613(x22x1)dx6(13x3x2x)|31112.探究三 微积分基本定理的综合应用 例 3 已知 x(0,1，f(x)01(12x2t)dt，求 f(x)的值域解析 01(12x2t)dt(12x)tt21022x，即f(x)2x2，因为x(0,1，所以f(1)f(x)f(0)，即0f(x)2，所以函数f(x)的值域是0,2)含有参数的定积分问题的处理方法与
7、注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式等数学知识综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与原函数 F(x)等概念3设F(x)0 x(t22t8)dt.(1)求F(x)的单调区间；(2)求F(x)在1,3上的最值解析：依题意：F(x)0 x(t22t8)dt(13t3t28t)|x013x3x28x，定义域是(0，)(1)F(x)x22x8，令F(x)0，得x2或x4，令F(x)0，得4x2.由于定义域是(0，)，函数的增区间是(2，)，减区间是(0,2)(2)
8、令F(x)0，得x2(x4舍去)，由于F(1)203，F(2)283，F(3)6，F(x)在1,3上的最大值是F(3)6，最小值是F(2)283.利用函数的奇偶性巧解定积分 例 4 已知函数 f(x)x22x1，0 x2，x22x1，2x0，求 22dfxx的值解析 因为 f(x)为偶函数，所以 22dfxx202(x22x1)dx213x3x2x 20 21323222 43.感悟提高 奇、偶函数在区间a，a上的定积分(1)若奇函数 yf(x)的图像在a，a上连续，则 daa fxx0.(2)若偶函数 yg(x)的图像在a，a上连续，则 daa g xx20ag(x)dx，如本例为偶函数，可用该结论计算03 课后 巩固提升
