1、1.3.1 全称量词与存在量词P21 思考：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x3；(2)2x+1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ，2x+1是整数。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等。全称命题举例：全称命题符号记法：命题：对任意的nZ，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形。通常，将含有变量x的语句用p(x),q(
2、x),r(x),表示，变量x的取值范围用M表示，那么，(),xMp x，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。解：（1）假命题；例1 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。小 结：判断全称命题 xM,p(x)是真命题的方法：判断全称命题 xM,p(x)是假命题的方法：需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举反例）（2）真命题；（3）假命题。练习：1 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何
3、实数都有算术平方根；（3）思考：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0R，使2x+1=3；(4)至少有一个x0Z，x能被2和3整除。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。存在量词、存在性命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在性命题。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。存在性命题举例：存在性命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。通常，将含有变量x的语句
4、用p(x),q(x),r(x),表示，变量x的取值范围用M表示，那么，00(),xMp x，存在性命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。解：（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题。例2 判断下列存在性命题的真假：（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数。小结：00判断存在性命题 xM,p(x)是假命题的方法：需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可（举例证明）练 习：2 判断下列存在性命题
5、的真假：（1）（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）00,0;xR x解：（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题。练习（1）存在这样的实数它的平方等于它本身。（2）任一个实数乘以-1都等于它的相反数；（3）存在实数x，x3x2；3、用符号“”与“”表达下列命题：小结：2、全称命题的符号记法。1、全称量词、全称命题的定义。3、判断全称命题真假性的方法。4、存在量词、特称命题的定义。5、特称命题的符号记法。6、判断特称命题真假性的方法。同一全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：命题 全称命题存在性命题所有的xM，p(x)成立对一切xM，p(x)成立对每一个xM，p(x)成立任选一个xM，p(x)成立凡xM，都有p(x)成立存在x0M，使p(x)成立至少有一个x0M，使p(x)成立对有些x0M，使p(x)成立对某个x0M，使p(x)成立有一个x0M，使p(x)成立,()xM p x 0,()xM p x表述方法作业 1、P15第1、2题。2、设a、b、c均为非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0中至少有一个有实数根。
