1、考点17 椭圆1.（2010全国高考卷理科12）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若。则k =（ ）（A）1 （B） （C） （D）2【命题立意】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质及椭圆的第二定义等知识。【思路点拨】运用椭圆的第二定义和数形结合方法解决。APOFBMNyx【规范解答】 选B，如图，过A、B分别作椭圆准线的垂线AM、BN，过B作BPAM，则又AF=3BF ,所以,AP=2BN,AB=4BF=4【方法技巧】结合图形运用椭圆的第二定义是解决直线过焦点问题的常用方法。2.（2010四川高考理科9）椭圆的右焦点为，其右
2、准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.（A） （B） （C） （D）【命题立意】本题考查椭圆离心率的取值范围、准线方程，椭圆上的点到焦点的距离的取值范围及线段垂直平分线的性质等基础知识.考查用代数方法解决解析几何问题的能力.【思路点拨】椭圆右焦点到右准线的距离为，由线段垂直平分线的性质可知，又椭圆上的点到焦点的距离的范围为.利用消去，从而找到、之间的不等式，进一步求出的范围，再结合椭圆的离心率的范围求出本题中离心率的取值范围.【规范解答】选D 由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即，又 ， .即，.即或.又椭圆的离心率， .【方法
3、技巧】涉及几何图形的问题，画出图形，数形结合，利用几何性质，很快找到突破口.3.（2010湖北高考文科15）已知椭圆的两焦点为,点满足,则+的取值范围为_，直线与椭圆C的公共点个数为_。【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和性质及直线与椭圆的位置关系，考查考生的数形结合思想和运算求解能力【思路点拨】画出图形，由数形结合及椭圆的定义和性质可得+的取值范围；由直线与椭圆方程联立所得解的个数可判断两图形公共点的个数。【规范解答】依题意知，点P在椭圆内部且不与原点重合.画出图形，由数形结合可得，当P在线段上且不过原点时+取得最小值2；由P在椭圆内部知+；故所求范围为.由 消去可得，故此直线与椭圆不可能有
4、交点，即交点数为0个.【答案】，0.【方法技巧】1、由椭圆定义，对于椭圆，为平面上任意一点，当在椭圆上时+=；当在椭圆内时+；当在椭圆外时+；2、直线与椭圆的位置关系的判断通常可转化为求两方程联立所得解的个数，从而将几何问题代数化。4.（2010全国卷理科16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质，体现了数形结合思想及方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【思路点拨】利用及椭圆的性质求出点的坐标，将点的坐标代入到椭圆的标准方程得到之间的关系，从而求出椭
5、圆的离心率.【规范解答】设椭圆方程为：，（,F分 BD所成的比为2，则，将其代入到，得，答案：.5.（2010全国高考卷理科21）已知斜率为1的直线与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。【命题立意】本题考查了直线、双曲线、直线与双曲线的位置关系等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，体现了数形结合思想及化归与转化思想。【思路点拨】由已知可得直线方程，代入双曲线方程，由根与系数的关系与已知M点得到a、b的关系，及得离心率。第二问用韦达定理及|DF|BF|=17，可求得双
6、曲线的方程，考查并证明MA=MB=MD且MA轴。【规范解答】（1）由题意知，l的方程为：y=x+2.代入C的方程化简，得 （b-a）x-4ax-4a- =0 设B（x,y）、D(x,y),则 x+x=,xx= 由M（1，3）为BD的中点知，故，即 故所以的离心率（）由可知，C的方程为：，A（a,0）,F(2a,0),0, 故不妨设FD=又FDBF=17，故解得故BD=连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知MA=MB=MD,且MA轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。ABMDFOxy【方法技巧】 1.解析几何问题要求根据曲线的几何特征熟练地转化为数量关系（如方程、函数），结合代数知识解答，要重视函数与方程思想、数形结合思想、等价转化数学思想的应用。2.对运算能力要求简洁、合理。能根据题意依据顺势思维进行求解，正如本题第二问根据MA=MB=MD进行证明过A、B、D三点的圆与x轴相切。5山东、北京、天津、云南、贵州、江西 六地区试卷投稿QQ 2355394694
