1、-1-本章整合-2-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系 平面 平面的概念及表示方法平面的基本性质:公理 1、2、3用集合语言描述点线面的位置关系空间中直线与直线的位置关系 :异面直线所成的角共面直线 相交直线平行直线公理 4空间中直线与平面的位置关系 相交平行在平面内平面与平面之间的位置关系 平行相交:二面角直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定:平面与平面平行的判定:直线与平面平行的性质:平面与平面平行的性质:直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定 线面角 平面与平面垂直的判定 二面角 直线与平面垂直的性
2、质:平面与平面垂直的性质:-3-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 填一填:异面直线;a,b,且aba;a,b,ab=P,a,b;a,a,=bab;,=a,=bab;la,lb,a,b,ab=Pl;l,l;a,bab;,=l,a,ala.-4-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 共点、共线、共面问题 1.三点共线问题 证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证第三点是两个平面的公共点,则此点必在两个平面的交线上.2.共面问题 证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,然后证明其余元素在这个平
3、面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,然后证明这些平面重合.3.三线共点问题 证明三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.-5-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 例1 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.求证:(1)E,F,G,H四点共面;-6-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 证明:(1)BGGC=DHHC,GHBD.E,F分别为AB,AD的中点,EFBD,EFGH.E,F,G,H四点共面.(2
4、)G,H不是BC,CD的中点,EFGH,且EFGH,EFHG为梯形.EG与FH必相交,设交点为M,EG平面ABC,FH平面ACD.M平面ABC,且M平面ACD.故MAC,即GE与HF的交点在直线AC上.-7-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 变式训练1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.证明:如图,AA1CC1,AA1,CC1确定一个平面A1C,显然有A1C平面A1C,又A1C平面BC1D=O,ACBD=M,点C1,O,M三点在平面A1C内,也在平面BC1D内,从而C1,O,M
5、三点都在这两个平面的交线上,即C1,O,M三点共线.-8-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 平行与垂直问题 立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理,这些定理之间并不是彼此孤立的,线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化,垂直与平行之间也可相互转化.1.不同层次的平行关系的转化-9-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 2.不同层次的垂直关系的转化 3.平行与垂直的转化-10-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 例2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,且ABC为正三角形,AA1
6、=AB=6,D为AC的中点.(1)求证:直线AB1平面BC1D;(2)求证:平面BC1D平面ACC1A;(3)求三棱锥C-BC1D的体积.-11-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三(1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.D为AC中点,得DO为AB1C中位线,AB1OD.OD平面BC1D,AB1平面BC1D,直线AB1平面BC1D.(2)证明:AA1底面ABC,AA1BD.底面ABC是正三角形,D是AC的中点,BDAC.AA1AC=A,BD平面ACC1A1.BD平面BC1D,平面BC1D平面ACC1A1.(3)解:由(2)知,在ABC 中
7、,BDAC,BD=BCsin 60=3 3,SBCD=1233 3=9 32.-1=1-=13 9 32 6=9 3.-12-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 变式训练2 某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.(2)在直观图中,证明:PD平面AGC;证明:平面PBD平面AGC.-13-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三(1)解:该几何体的直观图如图甲所示.(2)证明:如图乙,连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OGPD.又O
8、G平面AGC,PD平面AGC,所以PD平面AGC.连接PO,由三视图可得到,PO平面ABCD,所以AOPO.又AOBO,BOPO=O,所以AO平面PBD.因为AO平面AGC,所以平面PBD平面AGC.-14-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 空间角 空间角包括:两异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.1.两条异面直线所成的角 求两条异面直线所成的角一般通过平移(在所给形体内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移),把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算.平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现,补形时经常把空间图形
9、补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等).-15-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 2.直线和平面所成的角 当直线为平面的斜线时,它是斜线和斜线在平面内的射影所成的角,可按照定义作出线找到这个锐角,然后通过解直角三角形加以求出.3.二面角 二面角是通过其平面角的大小来度量的.作二面角的平面角主要有定义法、垂面法.-16-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 例3如图,正方体的棱长为1,BCBC=O.求:(1)AO与AC所成角的度数;(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.-17-
10、本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三 解:(1)ACAC,AO与AC所成的角就是OAC.OCOB,AB平面BC,OCAB,且ABBO=B.OC平面ABO.又OA平面ABO,OCOA.OAC=30,即AO与AC所成角的度数为30.在 RtAOC 中,OC=22,AC=2,sinOAC=12,-18-本章整合 核心归纳 知识网络 高考体验 专题一 专题二 专题三(2)如图,作 OEBC,连接 AE,平面 BC平面 ABCD,OE平面 ABCD,OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角.在 RtOAE 中,OE=12,AE=12+12 2=52,tanOAE=55.(3
11、)OCOA,OCOB,OC平面 AOB.又 OC平面 AOC,平面 AOB平面 AOC.即平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数为 90.-19-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 考点一:点、线、面位置关系的判断 1.(2013课标全国高考)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且l B.且l C.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l 解析:因为m,lm,l,所以l.同理可得l.又因为m,n为异面直线,所以与相交,且l平行于它们的交线.故选D.答案:D-20-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二
12、2.(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 解析:l1与l在平面内,l2与l在平面内,若l1,l2与l都不相交,则l1l,l2l,根据直线平行的传递性,则l1l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.答案:D-21-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 3.(2015浙江高考)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则B.若,则lm
13、C.若l,则D.若,则lm 解析:若l,又l,由面面垂直的判定定理,得,故选项A正确;选项B,lm或lm或l与m相交或异面都有可能;选项C,或与相交都有可能;选项D,lm或l与m异面都有可能.答案:A-22-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 考点二:平行、垂直与体积 4.(2015课标全国高考)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥 E-ACD 的体积为 63,求该三棱锥的侧面积.-23-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二(1)证明:因为四边形 AB
14、CD 为菱形,所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD,所以 ACBE.故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC,所以平面 AEC平面 BED.(2)解:设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由ABC=120,可得AG=GC=32 x,GB=GD=2.因为 AEEC,所以在 RtAEC 中,可得 EG=32 x.由 BE平面 ABCD,知EBG 为直角三角形,可得 BE=22 x.由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积VE-ACD=13 12ACGDBE=624x3=63.故 x=2.从而可得 AE=EC=ED=6.所以EAC 的面积为 3,EAD 的面积与ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E-
15、ACD 的侧面积为 3+2 5.-24-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 5.(2013课标全国高考)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积.-25-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 解:(1)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1DF.因为 DF平面 A1CD,BC1平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD.(2)因为 ABC-A1B1C
16、1 是直三棱柱,所以 AA1CD.由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CDAB.又 AA1AB=A,于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得ACB=90,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故 A1D2+DE2=A1E2,即 DEA1D.所以-1=13 12 6 3 2=1.-26-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 6.(2014课标全国高考)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱
17、ABC-A1B1C1的高.-27-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 解:(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.-28-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二(2)作 ODBC,垂足为 D,连接 AD.作 OHAD,垂足为 H.由于 BCAO,BCOD,故 BC平面 AOD,所以 OHBC.又 OHAD,所以 OH平面 ABC.因为CBB1=60,所以CBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD=34.由于
18、ACAB1,所以 OA=12B1C=12.由 OHAD=ODOA,且 AD=2+2=74,得 OH=2114.又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 217.故三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 217.-29-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 7.(2014 课标全国高考)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为 PD 的中点.(1)证明:PB平面 AEC;(2)设 AP=1,AD=3,三棱锥 P-ABD 的体积 V=34,求 A 到平面 PBC 的距离.-30-本章整合 知识网络 核心归纳 高考体验 考点一 考点二 解:(1)设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点,所以 EOPB.EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC.(2)V=16PAABAD=36 AB,由 V=34,可得 AB=32.作 AHPB 交 PB 于 H,由题设知 BC平面 PAB,所以 BCAH.故 AH平面 PBC.又 AH=3 1313,所以 A 到平面 PBC 的距离为3 1313.
