1、1(2013陕西，10，易)设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy【答案】DA不成立，如4，3；B不成立，如x1.6时，2x3，2x2；C不成立，如xy1.6，则xy3，xy2，由排除法知选D.思路点拨：本题考查新定义问题，解题的关键是把握取整函数的意义，取特殊值进行判断即可2(2011浙江，7，易)若a，b为实数，则“0ab1”是“a”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A当0ab0，则有a；若b0，则a，故“0ab1”是“a”的充分条件反之，取b1，a2，则有a，但ab0，则下列不
2、等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2【答案】DA项，当ab1时，满足ab0，但a2b22ab，所以A错误；B，C项，当ab1时，满足ab0，但ab0，0，0，显然B，C错误；D项，当ab0时，由基本不等式得22，所以D正确4(2013上海春季，17，易)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A. Babb2Caba2 D【答案】D方法一(利用不等式性质求解)：A项，由ab0，ab0，故0，故A项错误；B项，由ab0，abb2，故B项错误；C项，由ab0，a2ab，即aba2，故C项错误；D项，由ab0，得ab0，故0，1，ab21b2，ab24a2，bbb，bcac.(
3、3)可加性：abacbc.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd.(6)乘法法则：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)(8)开方法则：ab0(nN，n2)2不等式的倒数性质(1)ab，ab0.(2)a0b.(3)ab0，0cd.(1)(2014四川，4)若ab0，cd B. D.(2)(2014山东，5)已知实数x，y满足axay(0a Bln(x21)ln(y21)Csin xsin y Dx3y3【解析】(1)方法一：cd00.方法二：依题意取a2，b1，c2，d1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确(2)因为0a1，axy.对于
4、选项A，取x2，y1，则，显然A错误；对于选项B，取x1，y2，则ln(x21)sin ，显然C错误；对于选项D，若xy，则x3y3一定成立，故选D.【答案】(1)D(2)D 1.比较大小的方法(1)作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)特殊值法若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法求解2判断关于不等式的命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式
5、的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断(3)特殊值验证法：即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断(2014福建三明模拟，4)若ab0，则下列不等式一定成立的是()A. Ba2abC. Danbn【答案】C(特殊值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|b0是“a2b2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条
6、件【答案】A当ab0时，a2b2显然成立；当a2b2时，令a2，b1，则ba，故a2b2ab0不成立，故选A.2(2015安徽合肥模拟，4)已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中不一定成立的是()A.0 C. D.0【答案】C因为cba且ac0，所以c0，所以0，0，但b2与a2的关系不确定，故不一定成立3(2015四川成都模拟，3)已知a，b为非零实数且ab，则下列不等式一定成立的是()Aa2b2 Bab2a2bC. D.【答案】C若abb2，故A项错误；若0a，故D项错误；若ab0，则ab2a2b，故B项错误4(2015河北衡水二模，5)已知0ab B.C(lg a)2【答案】D因
7、为0ab1，所以0.可得，(lg a)2(lg b)2，lg alg b0.由lg alg b，因此只有D项正确思路点拨：利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解5(2015山东烟台模拟，6)已知1a0，A1a2，B1a2，C，比较A，B，C的大小关系为()AABC BBACCACB DBCA【答案】B方法一(作差法)：由1a0，AB(1a2)(1a2)2a20得AB，CA(1a2)0，得CA，所以BAC.方法二(特殊值法)：令a，则A，B，C2，因此得BAC，故选B.6(2015江苏盐城一模，5)若1ab3，2ab4，则2a3b的取值范围为_【解析】设2a3bx(ab)y(ab)，则
8、解得又因为(ab)，2(ab)1，所以(ab)(ab).即2a3b.【答案】7(2015河南郑州调研，14)若0，则下列不等式中：0；ab；ln a2ln b2中，正确的不等式是_(填正确不等式的序号)【解析】由0，得ba0.ab0，0，成立，即正确；baa0，则b|a|，即|a|b0，错误；ba0，且b，故正确；baa2，ln b2ln a2成立错误，故正确的是.【答案】1(2011江西，2，易)若集合Ax|12x13，B，则AB()Ax|1x0 Bx|0x1Cx|0x2 Dx|0x1【答案】B化简两集合，得Ax|1x1，Bx|0x2，则ABx|0x1故选B.2(2013陕西，9，中)在如图
9、所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15，20 B12，25 C10，30 D20，30【答案】C矩形的一边长为x m，设另一边长为y，则由相似三角形得，故其邻边长y(40x)m，故矩形面积Sx(40x)x240x，由S300得x240x300，解得10x30.3(2013天津，8，难)已知函数f(x)x(1a|x|)，设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A.若A，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A由题意可得0A，即f(a)f(0)0，所以a(1a|a|)0时无解，所以a0，所以1a0.
10、抛物线的对称轴x，x之间的距离大于1，而xa，x的区间长度小于1，所以不等式f(xa)f(x)的解集是，所以，所以即解得a，又1a0时均有x2x10，由二次函数的图象知，显然不成立，a1.(2)当a0，(a1)x10时均有x2ax10.二次函数yx2ax1的图象开口向上，不等式x2ax10在x(0，)上不能恒成立，a1时，令f(x)(a1)x1，g(x)x2ax1，两函数的图象均过定点(0，1)a1，f(x)在x(0，)上单调递增，且与x轴交点为，即当x时，f(x)0.又二次函数g(x)x2ax1的对称轴为x0，则只需g(x)x2ax1与x轴的右交点与点重合，如图所示，则命题成立，即在g(x)
11、图象上，所以有10，整理得2a23a0，解得a，a0(舍去)综上可知a.【答案】考向1一元二次不等式及分式不等式的解法三个“二次”之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实数根x1，x2(x1x2)有两相等实数根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx1，或xx2xR|xx1Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2(1)(2013重庆，7)关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B. C. D.(2)(2012重庆，2)不等式0的解集为()A
12、.B.C.1，)D.1，)(3)(2013广东，9)不等式x2x20(a0)或ax2bxc0)的形式；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集2分式不等式的解法(1)0(0)f(x)g(x)0(0)；(2)0(0)求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形(1)(2013安徽，6)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()A.B.C.D.(2)若典型例题1(2)中的不等式变为0，则其解集是_(1)【答案】Df(x)0
13、的解集为.由f(10x)0得，110x，解得xlg 2.(2)【解析】不等式0或x1或x1，即解集为(，1【答案】(，1考向2含参数的一元二次不等式问题(1)(2012江苏，13)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_(2)(2015山东临沂检测，16，12分)解关于x的不等式：ax2(a1)x10时，根据两根相等，找出a的取值，再分0a1三种情况讨论【解析】(1)由条件得a24b0，c0，从而f(x).所以不等式f(x)c的解集为x，故两式相减，得3，故c9.(2)当a0时，原不等式可化为x11.当a0时，原不等
14、式可化为(ax1)(x1)0.因为1或x0时，原不等式可化为(x1)0，若0a1，所以1x1，则1，所以x1.综上知，当a1；当0a1时，原不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式(2015云南昆明质检，16，12分)解关于x的不等式x2(a1)xa0.解：原不等式可化为(x1)(xa)1时，解集为x|1xa当a1时，解集为.当a1时，解集为x|ax1时
15、，解集为x|1xa；当a1时，解集为，当a1时，解集为x|ax0(或0)对于一切xR恒成立的条件是(2)一元二次不等式ax2bxc0(或0)对于一切xR恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a0时是否满足题意(1)(2014江苏，10)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围为_【思路导引】(1)结合二次函数的图象及性质只需满足f(m)0且f(m1)0即可；(2)先根据“对称函数”的定义，求出h(x)，然后在同一坐标系下，画出整理后两个函数的图象，利用数形结合的思想求解【解析】(1)要满足f(x)x2m
16、x10对于任意xm，m1恒成立，只需即解得mg(x)恒成立，所以6x2b，即3xb恒成立在同一坐标系中画出y3xb及半圆y的图象，如图所示当直线3xyb0与半圆相切时，d2，此时，b2.结合图象可知，b的取值范围为(2，)【答案】(1)(2)(2，) 一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗一般思路为：将已知
17、范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围一般地，af(x)恒成立时，应有af(x)max，af(x)恒成立时，应有af(x)min.(2015河北石家庄一模，13)对任意的k1，1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_【解析】因为对任意k1，1，函数f(x)x2(k4)x42k0恒成立，所以一次函数g(k)k(x2)x24x40在1，1上恒成立，所以所以解得x3，所以x的取值范围为
18、(，1)(3，)【答案】(，1)(3，)易错点拨：解答本题易出现不会合理分析已知条件，这样无法转化成关于k的一次函数，而导致题目无法求解的错误1(2015山东临沂模拟，2)不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|x2【答案】A由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x22(2014广东惠州二模，5)已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集为()A1，1 B2，2C2，1 D1，2【答案】A方法一：当x0时，x2x2，1x0；当x0时，x2x2，0x1.由得原不等式的解集为x|1x1方法二：作出函数yf(x)和函数yx2
19、的图象，如图，由图知f(x)x2的解集为1，13(2014山东聊城一模，3)已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1 C1 D3【答案】A由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，则不等式x2axb0的解集为x|1x2由根与系数的关系可知，a1，b2，所以ab3，故选A. 4(2015湖北武汉模拟，6)一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围是()A(3，0) B(3，0C3，0 D(，3)0，)【答案】A由一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足一元
20、二次不等式2kx2kx1，则不等式ax23x4b的解集分两段区域，不符合已知条件因此a1.此时ax23x4恒成立又不等式ax23x4b的解集为a，b，a10(舍去)当a1，即a1时，将在点A(2，0)处取得最大值，2a04，a2.当1a0，即0a1(舍去)综上，a2，故选B.5(2015课标，14，易)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_【解析】画出可行域，如图所示当直线l过点A时，z取得最大值由解得A，zmax1.【答案】6(2015课标，15，中)若x，y满足约束条件则的最大值为_【解析】画出如图所示的可行域，由得A(1，3)当过点A(1，3)时，取得最大值为3.【答案】31(2014
21、广东，3，易)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A5 B6 C7 D8【答案】B画出可行域如图所示，由z2xy得y2xz.当直线y2xz经过点A时，z取得最小值由解得即A(1，1)，此时z213，n3；当直线y2xz经过点C时，z取得最大值由解得即C(2，1)，此时z2213，m3.mn6，故选B.2(2013天津，2，易)设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4 C1 D2【答案】A画出可行域如图所示由zy2x得y2xz，平移直线y2x，当其经过点A(5，3)时，z取最小值，即zmin3257.故选A.3(2013山东，6，易
22、)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D【答案】C作出可行域，如图所示则当直线OM过点A(3，1)时，kOM最小，即kOM.故选C.4(2013课标，9，中)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2【答案】B画出可行域，如图所示，由得A(1，2a)，则直线yz2x过点A(1，2a)时，z2xy取最小值1，故212a1，解得a.5(2012四川，9，中)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品的
23、利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元 C2 800元 D3 100元【答案】C设生产甲产品x桶，乙产品y桶，则公司利润z300x400y，x，y满足约束条件画出可行域，如图，由图可知z100(3x4y)经过A点时取得最大值，由得A(4，4)，x4，y4时，zmax100(3444)2 800(元)6(2014福建，11，易)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_【解析】作出可行域，如图所示，由得A(0，1
24、)，则直线y3xz过点A(0，1)时，z取最小值zmin3011.【答案】17(2014湖南，14，易)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_【解析】作出可行域，如图所示先作出直线l：y2x，然后平移直线l，当l经过点A(k，k)时，z取得最小值6，即z2kk6，k2.【答案】28(2013广东，13，中)给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线【解析】画出可行域，如图所示平移直线zxy，当直线过点(0，1)时，z取最小值，点(0，1)为T中的点；平移到直线xy4时，z取最大值，此时在
25、直线xy4上且在区域D内的整点属于T，共有五个：(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)综上，T中的点共6个，可构成6条不同的直线【答案】69(2013江苏，9，中)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_【解析】由题意可得，切线斜率ky|x12，故切线方程为y12(x1)，即y2x1.画出区域D，如图所示由线性规划知识可知，zx2y在点A(0，1)处取最小值02(1)2，在B处取最大值20，故z.【答案】考向1二元一次不等式(组)表示的平面区域1二元一次不等式表示的平面区域(1
26、)二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合AxByC0，位于另一个半平面内的点，其坐标适合AxByC0.2二元一次不等式(组)表示平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，由于对在直线AxByC0同
27、侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为确定AxByC的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0，1)、(1，0)等点由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分(1)(2013北京，8)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02.求得m的取值范围是()A. B.C. D.(2)(2013安徽，9)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A2 B2 C4 D4【解析】(1)由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0，y0)，使x02y0
28、2成立，只需点A(m，m)在直线x2y20的下方即可，即m2m20，解得m，故选C.(2)由|2知.设(2，0)，(1，)，(x，y)，则解得由|1得|xy|2y|2.画出可行域，如图所示则所求面积S244.【答案】(1)C(2)D【点拨】解题(1)的关键是将问题转化为直线x2y20与可行域有公共点，即点(m，m)在直线x2y20的下方；解题(2)的关键是建立坐标系，通过坐标运算列出约束条件，画出可行域，再求面积 与二元一次不等式(组)区域有关问题的解决方法(1)求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的取值范围进行讨论；(2)在含有参数的二元一次不等式组所表
29、示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案(1)(2012重庆，10)设平面点集A，B(x，y)|(x1)2(y1)21，则AB所表示的平面图形的面积为()A. B. C. D.(2)(2012福建，9)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A. B1 C. D2(1)【答案】D平面点集A表示的平面区域就是不等式组与表示的两块平面区域，而平面点集B表示的平面区域为以点(1，1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是AB所表
30、示的平面图形由于圆和曲线y关于直线yx对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的，即为，故选D.(2)【答案】B在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.考向2线性规划的相关问题1线性规划中的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合(区域)最优解使目标函数取得最大值或最小
31、值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2. 线性目标函数的最值问题求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A5 B4 C. D2【思路导引】(1)直线y2xz在y轴上的截距最小时，z最大；(2)作出可行域，平移直线yx，由z的最小值为4，求参数k的值；(3)根据zyax取得最大值的最优解不唯一，将a分a0和a0时，直线yax与2xy20平行时符合条件，此时a2；当a0，b0，目标函数yx在A点处取得最小值联立方程
32、解得2ab2.设P(a，b)，原点O(0，0)，则OP2a2b2表示直线2ab2上的点到原点距离的平方，OP2的最小值为O到直线2ab2的距离的平方，即d24.【答案】(1)B(2)D(3)D(4)B 1.利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；(2)平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值2线性规划中的参数问题及其求解思路(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件
33、，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值(1)(2014天津，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D5(2)(2014浙江，13)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_(1)【答案】B作出可行域，如图所示由zx2y得yx.故将直线yx向上平移，当过A(1，1)时，z有最小值3.(2)【解析】作出不等式组所表示的区域如图所示，由1axy4结合图象可知，a0，且在
34、点A(1，0)点取得最小值，在点B(2，1)取得最大值，故a1，2a14，故a取值范围为.【答案】考向3线性规划的实际应用(2013湖北，20，12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400
35、元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆【解析】(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)P(700X900)0.977 2.(2)设A型车、B型车的数量分别为x辆，y辆，则相应的营运成本为1 600x2 400y.依题意，x，y还需满足：xy21，yx7，P(X36x60y)p0.由(1)知，p0P(X
36、900)，故P(X36x60y)p0等价于36x60y900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z1 600x2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值故应配备A型车5辆，B型车12辆【点拨】题(1)根据正态密度曲线的对称性求解；解题(2)的关键是根据概率间的关系列出线性约束条件，然后平移求最值 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划
37、问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式(2012江西，8)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润
38、(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50，0 B30，20 C20，30 D0，50【答案】B设黄瓜，韭菜的种植面积分别为x，y，则总利润z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图当目标函数表示的直线zx0.9y在可行域上平移，移至点A(30，20)时，取得最大值，所以当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大故选B.1(2015河南洛阳二模，4)若2m2n2，即2mn4，所以mn2，即mn20，则必有BCAB.因为xy40的斜率为1，所以直线kxy0的斜率为1，即k1，故选A.4(2015山东枣
39、庄模拟，8)已知实数x，y满足约束条件则的最小值是()A2 B2 C1 D1【答案】D作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为1.故选D.5(2014安徽合肥第二次检测，9)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2xy0上任意一点，O为坐标原点，则|的最小值为()A. B. C. D1【答案】A在直线2xy0上取一点Q，使得，则|，其中P，B分别为点P，A在直线2xy0上的投影，如图因为|，因此|min，故选A.6(2015山东威海一
40、模，13)设x，y满足约束条件则M(x，y)所在平面区域的面积为_【解析】画出平面区域，如图所示M(x，y)所在平面区域的面积为021e2e01e22.【答案】e227(2015湖南衡阳模拟，14)已知点P(t，2)在不等式组所表示的平面区域内运动，l为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的取值范围为_【解析】由不等式组可得如图所示的可行域，由图可知，当取点P(1，2)时，直线l的斜率取得最大值，k2.当取点P(2，2)时，直线l的斜率取得最小值，k1，故k1，2【答案】1，28(2015河南郑州模拟，14)已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，则m_
41、【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若m0，则目标函数zxmy可看作斜率为的动直线yx.若m0，数形结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个若m0，则0)，则ykxk，即kxyk0.当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d1，即8k26k0，解得k，此时直线斜率最大当直线kxyk0经过点B(3，1)时，直线斜率最小，此时3k1k0，即4k1，解得k，k.【答案】思路点拨：判断函数f(x)的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，数形结合和的几何意义即可得到结论(2015陕西
42、，9，易)设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bprp Dprq【答案】B方法一：由题意知，pf()ln，qfln，r(f(a)f(b)(ln aln b)ln abln.又ba0，0.函数f(x)ln x为增函数，prq，故选B.方法二(特值法)：令a1，b2，pf()ln，qffln，r(ln 1ln 2)ln .，ln ln ，pr0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5【答案】Cy(ab)2，当且仅当，即a，b时，不等式取等号，故选C.2(2010重庆，7，易)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y
43、的最小值是()A3 B4 C. D.【答案】Bx2y2xy8，y0，1x0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为()A16 B8 C8 D4【答案】B在平面直角坐标系中作出函数y|log2x|的图象如图所示，不妨设点A(x1，m)，B(x2，m)，C，D，则0x11x2，0x310)，则tm4，当且仅当m时等号成立，即m时，t取最小值为，此时的最小值为8.4(2011湖南，10，易)设x，yR，且xy0，则的最小值为_【解析】x，yR且xy0，54
44、x2y2529，当且仅当4x2y2，即xy时，取得最小值9.【答案】95(2010湖北，17，12分，中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)，由C(0)8，得k
45、40，C(x).而隔热层建造费用为C1(x)6x，f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)方法一：f(x)6x6x101021070，当且仅当6x10，即x5时取等号当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用最小，最小值为70万元方法二：f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5或x(舍去)当0x5时，f(x)0；当5x0.故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用达到最小，最小值为70万元考向1利用基本不等式求最值1基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小
46、于它们的几何平均数(2)重要不等式：aR，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(3)几个常用的重要结论2(a与b同号，当且仅当ab时取等号)；a2(a0，当且仅当a1时取等号)，a2(a0，当且仅当ab时取等号)2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记：和定积最大)求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立(1)
47、(2014上海，5)若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_(2)(2013天津，14)设ab2，b0，则当a_时，取得最小值【解析】(1)x22y222xy2，当且仅当xy时等号成立，x22y2的最小值为2.(2)ab2，21，当且仅当时等号成立又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值【答案】(1)2(2)2【点拨】解题(1)直接利用基本不等式即可，注意等号成立的条件；解题(2)的关键是代换，即将式子中的“1”用含“ab”的式子代换 利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的
48、不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等(2013山东，12)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3【答案】Bzx23xy4y2，1，当且仅当时，取最大值，即x2y，故z2y2.11，即的最大值为1.思路点拨：把多元问题消元是解决不等式问题的一个主要手段，在本题中通过已知的三元关系式，把第一个最值转化为二元关系，进而找出了三个元的关系，将最后
49、的最值问题转化为一元关系考向2基本不等式的实际应用(1)(2014福建，13)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)(2)(2012江苏，17，14分)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标求炮的最大射程；设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以
50、击中它？请说明理由【解析】(1)设池底长为x m，宽为y m，则xy4，所以y，则总造价为f(x)20xy2(xy)1108020x2080，x(0，)所以f(x)20280160，当且仅当x，即x2时，等号成立所以最低总造价是160元(2)令y0，得kx(1k2)x20.由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米因为a0，所以炮弹可以击中目标，即存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立，故关于k的方程a2k220aka2640有正根，所以有判别式(20a)24a2(a264)0，即a6.所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标【点拨】解题(1)
51、的关键是列出函数表达式，用基本不等式求最值；解题(2)的关键是将函数表达式变形转化，利用基本不等式求解；解题(2)的思路是将其转化为方程的根的问题，然后利用判别式求解 有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解(2014宁夏银川二模，19，12分)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/小时)假设汽油的价格
52、是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解：(1)设所用时间为t(h)，y214，x50，100所以这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50，100(或yx，x50，100)(2)yx26，当且仅当x，即x18时，等号成立故当x18千米/小时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.1(2015四川成都一模，5)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74【答案】D由log4(3a4b)log2，可得3a4bab，且a0，b0，1，即1
53、，所以ab(ab)77274.故选D.2(2015山东潍坊模拟，6)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0，1)，已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为()A. B. C. D.【答案】D由题意得3a2b2，332，当且仅当a，b时取等号故选D.3(2014广东广州二模，7)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为()A4 B4 C9 D16【答案】D由1得xy8xy.x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16，故xy的最小值为16.4(2015山西大同模拟，9)已知各项均为正数的等比数列
54、an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B. C. D.【答案】A由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)因为4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6.所以(mn).当且仅当时，等号成立，故的最小值等于.5(2015山东菏泽一模，10)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8 C4 D2【答案】A圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0，1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c
55、10，即bc1.因此(bc)5.因为b，c0，所以24.当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.6(2015福建厦门模拟，14)若当x3时，不等式ax恒成立，则a的取值范围是_【解析】设f(x)x(x3)3，因为x3，所以x30，故f(x)2323，当且仅当x3时等号成立，所以a的取值范围是(，23【答案】(，237(2015山东青岛模拟，13)下列命题：y23x(x0)的最大值是24；ysin2x的最小值是4；y23x(x0)的最小值是24.其中正确的是_(填序号)【解析】正确，因为y23x22224.当且仅当3x，即x时等号成立不正确，令sin2xt，则0t1
56、，所以g(t)t，显然g(t)在(0，1上单调递减，故g(t)ming(1)145.不正确，因为x0，最小值为24，而不是24.【答案】易错点拨：本题容易出现答案为的错误，是因为做题时只看到了形式，而看不到基本不等式成立的条件而造成的8(2015河南郑州模拟，18，12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?解：方法一：设y为流出的水
57、中杂质的质量分数，则y，其中k为比例系数，且k0.根据题意有，4b2ab2a60(a0，b0)，所以b(0a0.根据题意有，4b2ab2a60(a0，b0)，即2baba30.因为a2b2，所以30aba2b2.所以ab2300.因为a0，b0，所以0ab18，当a2b时取等号，ab达到最大值18.此时解得a6，b3.所以当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(时间：90分钟_分数：120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1(2015广东东莞一模，2)设a，bR，若a|b|0 Ba3b30 Ca2b20 Dab0【答案】D当b0时，ab0，当b0时，ab
58、0，ab0，故选D.2(2015湖南长沙模拟，2)不等式2x2x30的解集是()Ax|x1 B.C. D.【答案】D不等式2x2x30可化为2x2x30，解得x，所以不等式的解集是.3(2015山东潍坊模拟，3)函数f(x)的定义域是()A(，1)(3，) B(1，3)C(，2)(2，) D(1，2)(2，3)【答案】D由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)(2，3)4(2015江西九江质检，6)已知函数f(x)ax2xc，且不等式ax2xc0的解集为x|2x0的解集为x|2x1，所以alg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)【答案】C当x0时，
59、x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确6(2015江西南昌三模，9)若关于x，y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A1 B2 C3 D1【答案】C当a0时，显然不合题意；当a0时，不等式组所围成的区域如图所示因为其面积为2，所以|AC|4，所以C的坐标为(1，4)，代入axy10，解得a3.7(2015河南洛阳模拟，6)设二次函数f(x)ax24xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为()A3 B. C5 D7【答案】A由题意知，a
60、0，二次函数f(x)的图象与x轴有一个交点，则164ac0，所以ac4，c0.则23，当且仅当时取等号，则的最小值是3，故选A.8(2015天津模拟，7)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最大值为()A. B1 C D2【答案】B由约束条件作出可行域如图，由zx2y，得y，由图象可知，当直线y过可行域内点A时直线在y轴上的截距最小，z最大联立解得即A(1，0)所以目标函数zx2y的最大值为1201.故选B.9(2015四川成都模拟，12)设abc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4 C2 D5【答案】B2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(
61、ab)0224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时，等号成立，如取a，b，c时满足条件10(2015广东实验中学模拟，7)已知函数f(x)若对任意的xR，不等式f(x)m2m恒成立，则实数m的取值范围是()A. B.1，)C1，) D.【答案】B对于函数f(x)当x1时，f(x)；当x1时，f(x)logx0可化为3x2x40，解得x1.【答案】12(2015河南郑州模拟，14)已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_【解析】由已知得1，则(102)9，当且仅当x，y时取等号【答案】913(2013大纲全国，15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取
62、值范围是_【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，因为直线ya(x1)表示经过点P(1，0)且斜率为a的直线，结合图形易知kPAakPB4，故a的取值范围是.【答案】14(2015山东济南二模，13)若点A(1，1)在直线mxny20上，其中mn0，则的最小值为_【解析】因为点A(1，1)在直线mxny20上，所以mn20，即1，所以122，当且仅当，即m2n2时取等号所以的最小值为2.【答案】2思路点拨：把点A(1，1)代入直线mxny20，得到m，n的关系，再利用基本不等式求最小值三、解答题(共4小题，共50分)15(12分)(2015山东临沂模拟，16)已知f(x)3x2a(6a)
63、xb.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)0的解集为(1，3)，求实数a，b的值解：(1)因为f(1)0，所以3a(6a)b0，即a26a3b0，即b6时，方程a26a3b0有两根a13，a23，所以不等式的解集为(3，3)综上所述：当b6时，原不等式的解集为；当b6时，原不等式的解集为(3，3)(2)由f(x)0，得3x2a(6a)xb0，即3x2a(6a)xb0.因为它的解集为(1，3)，所以1与3是方程3x2a(6a)xb0的两根，所以解得或16(12分)(2014江苏扬州模拟，17)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量
64、将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：该商品明年的销售量a至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解：(1)设每件定价为x元，依题意，有8(x25)0.2x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不
65、等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元17(12分)(2015河南郑州质检，18)某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利
66、润？解：设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得目标函数为z7x12y.作出可行域，如图所示当直线7x12y0向右上方平行移动时，经过点M时z取最大值解方程组得因此，点M的坐标为(20，24)所以该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润18(14分)(2014湖北襄阳调研，18)已知不等式mx22xm10.(1)是否存在m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围解：(1)不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，f(x)12x，不满足f(x)0恒成立；当m0时，f(x)mx22xm1，要使f(x)0恒成立，需则m无解综上可知，不存在这样的m.(2)设f(m)(x21)m(12x)，则f(m)为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线由题意知当2m2时，f(m)的图象为在x轴下方的线段，即解得x或x，解得x.由，得x.x的取值范围为.
