1、10.1.3两角和与差的正切学 习 任 务核 心 素 养1能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点) 2能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)3熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(难点)通过对两角和与差的正切公式的推导和应用，提升逻辑推理和数学运算素养根据同角三角函数的商数关系tan ，怎样由sin()以及cos()的公式将tan()用tan ，tan 来表示？如何将tan()用tan ，tan 来表示？知识点两角和与差的正切公式T()：tan()T()：tan()公式T()有何结构特征和符号规律？提示(1)结构特征：公式T()的右侧为分式
2、形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反1tan 15_；tan 75_22tan 15tan(4530)2tan 7522设，为锐角，且tan ，tan 是方程6x25x10的根，则tan()_1tan tan ，tan tan tan()1 类型1条件求值问题【例1】已知tan()5，tan()3，求tan 2，tan 2，tan2()()，2()()，tan可以用tan 2表示出来.解tan 2tan()()，tan 2tan()()，tan求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换
3、技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.跟进训练1(1)已知，sin ，求tan的值；(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算tan()的大小解(1)因为sin ，且，所以cos ，所以tan ，故tan(2)由题图可知tan ，tan ，且，均为锐角，所以tan()1 类型2给值求角【例2】已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，求利用根与系数的关系求tan tan 及tan tan 的值，进而求出tan()的值，然后由的取值范围确定的值.解因为tan ，tan 是方程x23x40的两根，所以tan tan 30，tan tan 40，所以tan 0，tan 0
4、又因为，所以，所以0又因为tan()，所以1给值求角的一般步骤(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角2选取函数时，应遵照以下原则(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好跟进训练2如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，求：(1)tan()的值；(2)2的大小解由已知得cos ，cos ，又，是锐角，则sin ，sin 所以tan 7，tan (1)t
5、an()3(2)tan(2)tan()1，又，是锐角，则02，所以2 类型3T()公式的变形及应用【例3】已知ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan Btan Atan B1，试判断ABC的形状当一个代数式中同时出现“tan tan ”及“tan tan ”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？解tan A tan Btan Atan B1，(tan Atan B)tan Atan B1，tan(AB)又0AB，AB，Ctan Btan Ctan Btan C，tan C，tan Btan B，tan B，B，A，ABC为等腰三角形1公式T()，T()是变形较多
6、的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示或求出第三个2一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式跟进训练3(1)化简：tan 23tan 37tan 23tan 37；(2)若锐角，满足(1tan )(1tan )4，求的值解(1)tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37(2)(1tan )(1tan
7、 )1(tan tan )3tan tan 4，tan tan (1tan tan )，tan()又，均为锐角，0180，601若tan 3，tan()2，则tan 等于()A B C1 D1Atan()2，tan 3，2，tan ，故选A2()Atan 57 Btan 57 C1 D1C原式tan(516)tan 4513若tan2，则()A B C D1C由tan2，得tan ，4求值：tan 15tan 30tan 15tan 30_1tan 15tan 30tan 15tan 30tan(1530)(1tan 15tan 30)tan 15tan 30tan 45(1tan 15tan
8、 30)tan 15tan 301tan 15tan 30tan 15tan 3015已知，(0，)，且tan 2，cos ，则tan()的值为_；2的值为_cos ，(0，)，sin ，tan tan()tan 2tan(2)1tan 2，(0，)，tan 0，且(0，)，2，tan(2)1，2回顾本节知识，自我完成以下问题：1试写出T()的公式，你能结合T()的公式完成下列空格(1)T()的变形：tan tan _tan tan tan tan tan()_tan tan _(2)T()的变形：tan tan _tan tan tan tan tan()_tan tan _提示(1)tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan tan tan()tan()，tan tan 1；(2)tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan tan tan()tan()，tan tan 12当k，kZ时，(1tan )(1tan )是定值吗？提示当k，kZ时，tan()1，tan tan 1tan tan ，tan tan tan tan 1，即(1tan )(1tan )2
