1、三角形的“四心”及其向量性质知识与方法1.【重心的概念及向量性质】如图1所示，G为的重心，则：（1）概念：三边中线的交点，即图1中D、E、F分别为所在边的中点；（2）重心分中线的比例性质：；（3）坐标：设，则的重心G的坐标为；（4），其中；（5）与奔驰定理结合：设G为的重心，则.2.【外心的概念及向量性质】如图2所示，O为的外心，则：（1）概念：外接圆的圆心，三角形的三边的中垂线的交点，；（2）；（3）与奔驰定理结合：若是锐角或直角三角形，则.3.【内心的概念及向量性质】如图3所示，I为的内心，则：（1）概念：内切圆的圆心，三角形的三个内角的角平分线的交点；（2），其中；（3）与奔驰定理结合：
2、4.【垂心的概念及向量性质】如图4所示，H为的垂心，则：（1）概念：三角形的三边上的高的交点；（2）若不是直角三角形，则（3）；（4）与奔驰定理结合：若不是直角三角形，则.提醒：三角形“四心”的结论较多，我们在学习的时候，最好能抓住各心的规律，例如，心的关键特征是1:1:1，内心需重点关注，外心则抓住点乘和投影，而垂心往往要分析余弦投影.典型例题【例1】已知点O是所在平面内的一点，且，则O一定是的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】如图，设D为的中点，则，由重心分中线比例性质知，所以O为的重心.【答案】A变式1已知O、A、B、C是平面上的4个定点，A、B、C不共线，若点P满足，其中，
3、则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】，当时，P为的重心，所以点P的轨迹一定经过的重心.【答案】A变式2已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】由正弦定理，所以，从而，设，则，所以，设D为中点，如图，则，显然，又，所以，故点P的轨迹是射线，而射线必定经过的重心，故选A.【答案】A【例2】已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】，故选C.【答案】C【例3】设G为的重心，若，
4、则_【解析】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，因为G为的重心，所以，故，又，所以，设D、E分别为、的中点，则，由重心分中线的比例性质，从而.解法2：如图，D、E、F分别为所在边的中点，作于K，则，所以，从而，故在上的投影为，所以.【答案】4变式1设I为的内心，若，则_【解析】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I与、分别相切于点D、E、F，设圆I的半径为r，则，显然四边形是正方形，所以，从而，易证，所以，故，从而，解法2：按解法1求得的内切圆半径，由图可知在上的投影即为，所以.【答案】变式2设O为的外心，若，则_.【解析】如图，设D、E分别为、中点，则
5、，所以【答案】【例4】在中，O为的内心，若，则（ ）A.B.C.D.【解析】，因为O为的内心，所以，从而，解得：，所以.【答案】C【例5】若P为锐角的外心，若，则（ ）A.B.C.D.【解析】：，因为P为的外心，所以，从而，故，因为是锐角三角形，所以，故，从而或，若，则，所以，矛盾，故，即，所以，由题意，所以，故，从而，又，所以，从而，故.【答案】A强化训练1.（）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若点O满足，则O一定是的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】由内心的向量性质知O为的内心，选C.【答案】C2.（）已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P
6、满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】，所以，由垂心的向量性质知选C.【答案】D3.（）已知O为所在平面内一点，若，且，则（ ）A.B.C.10D.5【解析】如图，设、的中点分别为D、E、F，因为，所以，从而，故O是的外心，所以，从而.【答案】B4.（）M是所在平面上一点，若，则M是的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】同理可得，所以M是的垂心.【答案】D5.（）设G为所在平面内一点，若，且，则实数（ ）A.B.3C.D.2【解析】 G为的重心，如图，设D为中点，则，所以.【答案】B6.（）已知O为内一点，且，若，且，则的最小值为（ ）A.B.C.
7、1D.【解析】 O为的重心，因为，所以，又，所以，从而，当且仅当时取等号，此时是正三角形，所以的最小值为.【答案】B7.（）设I为的内心，若，且，则_.【解析】由题意，由奔驰定理的内心形式，本题中，所以，解得：，所以.【答案】8.（）已知O为的垂心，且，则角A=_.【解析】由奔驰定理的垂心形式，所以，可设，则，显然，否则A、B、C全为钝角，因为，所以，从而，结合可解得：，所以.【反思】本题也可用三角形中的正切恒等式来建立关于x的方程.【答案】9.（）在中，M是的中点，若，则的面积为_.【解析】因为，所以A、M、P三点共线，且，从而，又，所以，由垂心的向量形式知，因为A、M、P三点共线，所以，从而，故，.【答案】10.（）已知O是的内心，且，则_.【解析】，因为O是的内心，所以，从而，由题意，所以，故，又，所以，代入可得，从而，即.【答案】14
