1、极化恒等式知识与方法1.平行四边形性质：如下图所示，在平行四边形中，.2.极化恒等式的平行四边形模式：在平行四边形中，.3.极化恒等式的三角形模式：，其中E为中点.提醒：极化恒等式主要用于解决数量积计算问题，利用极化恒等式，关键是取中点，巧妙之处是可将本身需要夹角才能计算的数量积转化为只需长度即可计算的量.典型例题【例1】（2012浙江）在中，M是中点，则_.【解析】解法1：，.解法2：由极化恒等式，.【答案】【例2】（2017新课标卷）已知是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则的最小值是（ ）A.B.C.D.【解析】解法1：如图，设中点为D，则，所以当，即点P与点重合时，取得最小值.解法
2、2：建立如图所示的坐标系，设，则，所以，故，所以当时，取得最小值.【答案】B【例3】正三角形内接于半径为2的圆O，E为线段上一动点，延长交圆O于点F，则的取值范围为_.【解析】解法1：建立如图1所示的平面直角坐标系，则可设，圆的半径为，故，所以，从而.解法2：如图2，设中点为D，圆的半径为，由极化恒等式，由图可知当F与点B重合时，取得最小值，当点F与点C重合时，取得最大值3，所以.【答案】【例4】正方形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆与、分别交于E、F于两点，若P为劣弧上的动点，则的最小值为_.【解析】解法1：建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以，其中为某确定的锐角，故当时，取得
3、最小值为.解法2：设中点为，由极化恒等式，由图可知，所以.【答案】强化训练1.（）在平行四边形中，则_.【解析】由极化恒等式，.【答案】2.（）设M、N是上的两个动点，且，则的最小值为（ ）A.1B.2C.D.【解析】解法1：如图，设，则由知所以，显然当时，取最小值.解法2：如图，设G为中点，由极化恒等式，显然的最小值为，所以的最小值.【答案】D3.（2016江苏）在中，D是中点，E、F是上两个三等分点，则的值是_.【解析】设，由极化恒等式，故.【答案】4.（）在中，D在边上运动，则的最小值为_.【解析】由余弦定理，所以，取中点G，由极化恒等式，故的长最小时，也最小，由图可知当点D位于图中处时
4、，的长最小，且，所以的最小值为.【答案】5.（）已知是圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一点，P是圆O所在平面内的任意一点，则的最小值是_.【解析】如图，设中点为D，则，当且仅当P、D重合时取等号，所以的最小值是【答案】6.（）在半径为1的扇形中，C为弧上的动点，与交于点P，则的最小值为_.【解析】如图，设中点为D，则，故当最小时，最小，由图可知当P与重合时，最小，且易求得，所以的最小值为.【答案】7.（）若O和F分别是椭圆的中心和左焦点，P为椭圆上一点，则的最大值是（ ）A.2B.3C.6D.8【解析】如图，由题意，设中点为D，则，由极化恒等式，显然，所以的最大值是6.【答案】C8.（）如下图所示，正方形的边长为4，为半圆O的直径，P为半圆圆弧上的动点，则的取值范围为_.【解析】如图，设E为中点，由极化恒等式，由图可得，所以的取值范围为.【答案】9.（）四边形中，M是上的点，,若N是线段上的动点，的取值范围是_.【解析】M是上的点且C、D两点在以为直径的圆上，且圆心为M，是等腰直角三角形，由极化恒等式，显然上点N在上运动时，所以.【答案】10.（）在中，若P是所在平面内一点，且，则的最大值是_.【解析】如图，点P在以A为圆心，2为半径的圆上运动，设中点为D，由余弦定理，由极化恒等式，由斯特瓦尔特公式，即，解得：（也可用其它方法求中线的长），当点P在圆上运动时，所以.【答案】
