1、一次型分式函数的图象性质知识与方法我们把函数称为一次型分式函数，这类函数的图象一定是双曲线，且有垂直渐近线，水平渐近线，对称中心.在理解并熟悉了这些性质的基础上，可以快速地作出函数的图象，解决一些常见的问题.典型例题【例1】函数在上的值域为_.【解析】图象的两条渐近线分别为和，且，据此可作出的大致图象如图，由图可知在上，所以，故在上的值域为.【答案】变式 函数的值域为_.【解析】设，则，且，函数图象的两条渐近线分别为和，且过点，所以其大致图象如图所示，由图可知在上，故，从而函数的值域为.【答案】【例2】（2021新课标卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）（A）（B）（C）（D）【解析】解
2、法1：A项，不是奇函数，故A项错误；B项，是奇函数，故B项正确；至此本题已可选出答案，C项，不是奇函数，故C项错误；D项，不是奇函数，故D项错误.解法2：由题意，的图象的对称中心为，故将其右移1个单位，上移1个单位，得到的图象关于就原点对称，恰好为奇函数，即为奇函数，故选B.【答案】B【例3】函数的图象关于直线对称，则_.【解析】由题意，函数的对称中心为点，因为的图象关于直线对称，所以点A在直线上，从而，故.【答案】.【例4】函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.【解析】由题意，的图象的两条渐近线分别为和，如图，要使在上，首先应有，其次，所以，故的取值范围是.【答案】强化训练1.（）函数在上
3、的最大值为_.【解析】的图象的两条渐近线分别为和，且，据此可作出的大致图象如图，由图可知在上，所以.【答案】32.（）函数的值域为_.【解析】设，则，且，函数的两条渐近线分别为和，且过点，所以其大致图象如图所示，由图可知函数在上，从而，故函数的值域为.【答案】3.（）函数与在上有相同的单调性，则实数的取值范围是_.【解析】显然在上，由题意，在也，函数的两条渐近线为和，其大致图象如图所示，由图可知应有，从而.【答案】4.（）在数列中，则对于任意的正整数，有（ ）（A）（B）（C）与的大小与有关（D）与的大小与有关【解析】解析：设，则函数的图象的渐近线为和，且过点，所以的大致图象有三种可能，如图，若为图1，则，此时在上，因为，所以是递增数列，从而；若为图2，则，此时在上，所以是递减数列，从而；若为图3，则，所以，从而，故，综上所述，与的大小与有关，选C.【答案】C5.（）已知定义在R上的函数满足，且，则方程在上的实根之和为（ ）（A）（B）（C）（D）【解析】画出函数的图象如图所示，函数的图象的两条渐近线分别为和，且过点，其图象如图，由图可知两个函数的图象在上共有5个交点，分别为图中的A、B、C、E、F，其中A和F、B和E、C和D两两关于点对称，所以这六个点的横坐标之和为，但的图象上不包括点D，且点D的横坐标为，故两个函数图象交点的横坐标之和为，即方程在上的实根之和为.【答案】C
