1、1.3.2 奇 偶 性第1课时 函数奇偶性的概念基础认知自主学习1.函数的奇偶性导思1.如何描述函数图象的对称性？2什么是函数的奇偶性？函数具有奇偶性的前提条件是什么？前提对于函数f(x)的定义域内的任意一个x条件都有_都有_结论函数f(x)叫偶函数函数f(x)叫奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)(1)如果定义域内存在 x0，满足 f(x0)f(x0)，函数 f(x)是偶函数吗？提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个 x 都成立(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的 x，满足 f(x)f(x)或 f(x)f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？提示：奇、偶函数的定义域关于原点对
2、称2图象特征(1)偶函数的图象关于 y 轴对称(2)奇函数的图象关于原点对称如果奇函数在 x0 处有定义，则其图象有什么特征？提示：图象过原点，即 f(0)0.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)奇函数的图象一定过原点()提示：不一定，如函数 f(x)1x.(2)若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(x)f(x)0，则函数 f(x)是奇函数()提示：若 f(x)f(x)0，则 f(x)f(x).(3)若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数()提示：由奇函数、偶函数图象的特征可知正确 2(教材练习改编)下列函数是偶函数的是()Ayx B
3、y3x2C.y1xDy|x|(x0，1)【解析】选 B.利用偶函数的定义，定义域关于原点对称，满足 f(x)f(x).3偶函数 yf(x)的定义域为t4，t，则 t_【解析】偶函数的定义域关于原点对称，故 t4t，解得 t2.答案：2能力形成合作探究类型一 函数奇偶性的判断(数学抽象、直观想象)判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1x2x；(2)f(x)xx1；(3)f(x)2x 1x02x 1x0.，【解析】(1)f(x)的定义域为1，0)(0，1，关于原点对称f(x)1x2xf(x)，所以 f(x)为奇函数(2)因为函数 f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，所以 f(x)是非奇非偶函
4、数(3)方法一：作出函数的图象如图所示：因为函数的图象关于 y 轴对称，所以函数是偶函数方法二：f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当 x0 时，x0，f(x)1(2x)12xf(x)；当 x0，f(x)1(2x)12xf(x).综上可知，对于 x(，0)(0，)，都有 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数判断函数的奇偶性的两种方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断 f(x)是否等于f(x)，或判断 f(x)f(x)是否等于 0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关
5、于 y 轴对称，则函数为偶函数【补偿训练】(2020运城高一检测)下列图象表示的函数具有奇偶性的是()【解析】选 B.选项 B 中的函数图象关于 y 轴对称，所以是偶函数类型二 奇偶函数图象的应用(直观想象)【典例】定义在 R 上的奇函数 f(x)在0，)上的图象如图所示(1)画出 f(x)在(，0)上的图象(2)解不等式 xf(x)0.【思路导引】f(x)在0，)上的图象f(x)的图象解不等式 xf(x)0.【解析】(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(1，1)，(2，0)，连线可得 f(x)的图象如图(2)xf(x)0 即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0 的
6、解集是(2，0)(0，2).1巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图象(3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(，0(或0，)上对应的函数图象2奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察已知奇函数 f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示(1)画出函数 f(x)在区间5，0上的图象(2)写出使 f(x)0 的 x 的取值范围【解析】(1)如图，在0，5上的图象上选取 5 个关键点 O，A，B，C，
7、D.分别描出它们关于原点的对称点 O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当 x(2，0)(2，5)时，f(x)0.所以使 f(x)0 的 x 的取值范围为(2，0)(2，5).类型三 利用函数的奇偶性求值(逻辑推理，数学运算)【角度 1】利用奇偶性求参数值【典例】已知函数 f(x)x3(a1)x2 的图象关于原点中心对称，则 a()A1 B1 C2 D2【思路导引】根据图象，先判断奇偶性，再根据定义求值【解析】选 B.因为函数图象关于原点中心对称，所以函数 f(x)是奇函数，则 f(x)f(x)，得x3(a1)x2x3(a1)x2，即(a1)x20，即 a10，得
8、 a1.若将本例中的条件改为函数 f(x)ax2(a1)x2 是偶函数，试求 a 的值【解析】若 f(x)是偶函数，则 f(x)f(x)，即 a(x)2(a1)x2ax2(a1)x2，即(a1)x0 对于 xR 恒成立，则 a10，a1.【角度 2】利用奇偶性求函数值【典例】1.已知函数 f(x)ax3bx2，f(2 020)3，则 f(2 020)()A7 B5 C3 D2【思路导引】利用 f(2 020)3 求出要求式子的值，再代入 f(2 020)求值【解析】选 A.因为 f(2 020)3，所以 f(2 020)2 0203a2 020b23，所以 2 0203a2 020b5，所以
9、f(2 020)2 0203a2 020b2527.2已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(x)x3x1，则 f(1)g(1)()A3 B1 C1 D3【思路导引】利用奇偶函数的定义构造 f(x)g(x)后求值【解析】选 B.由 f(x)g(x)x3x1，将所有 x 替换成x，得 f(x)g(x)x3x1，根据 f(x)f(x)，g(x)g(x)，得 f(x)g(x)x3x1，再令 x1，计算得 f(1)g(1)1.1利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数 f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用 ab0 求参数(2
10、)解析式含参数：根据 f(x)f(x)或 f(x)f(x)列式，比较系数即可求解2利用奇偶性求函数值的思路(1)已知 f(a)求 f(a)：判断 f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与 f(a)的关系即可(2)已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用x 替换 x 后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程组即可1已知函数 f(x)ax3bxcx 5，满足 f(3)2，则 f(3)的值为_【解析】因为 f(x)ax3bxcx 5，所以 f(x)ax3bxcx 5，即 f(x)f(x)10.所以 f(3)f(3)10，又 f(3)2，所以
11、f(3)8.答案：82已知函数 f(x)ax2bxc(2a3x1)是偶函数，则 a_，b_【解析】因为 f(x)是偶函数，所以其定义域关于原点对称所以2a31.所以 a1.所以 f(x)x2bxc.因为 f(x)f(x)，所以(x)2b(x)cx2bxc.所以bb，所以 b0.答案：1 0学情诊断课堂测评1函数 f(x)x(1x1)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【解析】选 C.因为函数的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数2(教材练习改编)函数 f(x)1x x 的图象关于()Ay 轴对称B直线 yx 对称C坐标原点对称D直线 yx 对称【解析】选 C.因为 f(x)1x x 是奇函数，所以 f(x)1x x 的图象关于原点对称3已知函数 yf(x)x 是偶函数，且 f(2)1，则 f(2)_【解析】函数 yf(x)x 是偶函数，所以 f(2)2f(2)2，所以 f(2)5.答案：54若函数 f(x)(m1)x2(m2)xm27m12 为偶函数，则 m 的值是_【解析】因为 f(x)为偶函数，所以对于任意 xR，有 f(x)f(x)，即(m1)(x)2(m2)(x)(m27m12)(m1)x2(m2)x(m27m12)，所以 2(m2)x0 对任意实数 x 均成立，所以 m2.答案：2
