1、导数知识诊断之研究函数中的应用问题1：怎样用导数判断函数的单调性？知识诊断：一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减。判断单典型的步骤：（1） 确定函数的定义域及求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论。注意：研究函数定义域优先；在区间内或是函数在该区间上为增或为减函数的充分条件。典例分析：例题1：(2010广东高考)设，函数，试讨论函数的单调性【解题思路】先求导再解和【解析】 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数
2、，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。【技巧指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.（1） 求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.误区警示求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.变式练习1、函数y=x3+x的单调增区间为A.(,+)B.(0,+)C.(,0)D.不存在解析：y=3x2+10恒成立，y=x3+x在(,+)上为增函数，没有减区间.答案：A问题2：已知函数的单调性，如何求有关参数的取值范围？知识诊断
3、：这是高考中的重点，主要有两类：一是函数解析式确定，单调区间中含有参数；解决时主要是利用导数求解函数的单调区间，比较区间的端点值即可。二是区间一定，解析式中含有参数。解决时通过导数转化为不等式在某个区间上恒成立问题，一般利用分离参数法，转化过程中应注意：若可导函数在某个区间上单调递增，则有；若可导函数在某个区间上单调递减，则有。典例分析：例题1：若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：又在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即在1,1的最大值为 故的取值范围为【
4、技巧指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.变式练习1. 若函数f(x)=x3ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A.a3 B.a=2C.a3D.0a0，当时，1时，对x（0，+）恒有0， 当a.1时，f(x)在（0，+）上为增函数；5已知函数f（x）=ax3+3x2x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。解：（x）=3ax2+6x1. 要使f（x）在0，4递减，则当x（0，4）时，（x）0。或，解得a3.综合拔高训练6已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处
5、取得极值.（）求函数f(x)的解析式；（）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4；（）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即2分 解得a=1，b=0. f(x)=x33x.4分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26分对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)
6、|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故
7、所求的实数a的取值范围是3m2.14分7已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分的极小值为 4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ， 5分令， 6分当时，在上单调递增 7分 在（1）的条件下， 9分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 9分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 10分当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 11分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 8已知函数（）(1) 求f(x)的单调区间；（2）证明：lnx0，f(x)在上递增当时，令得解得：，因（舍去），故在上0，f(x)递增.（2）由（1）知在内递减，在内递增.故，又因故，得9、已知函数。（1）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围？（2）若是函数的极值点，求函数在区间上的最大值。（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恰有3个交点？请分析。
