1、第6节对数与对数函数一、教材概念结论性质重现1对数的概念一般地，如果abN(a0，且a1)，那么幂指数b称为以a为底N的对数，记作blogaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质loga10；logaa1；alogaNN；logaaNN(a0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a0且a1，b0，c0且c1)换底公式的三个重要结论(1)logab.(2)logambnlogab.(3)logabl
2、ogbclogcdlogad.其中a0，且a1，b0，且b1，c0，且c1，m，nR.3对数函数(1)一般地，函数ylogax(a0，且a1)称为对数函数，其中a是常数，a0且a1. (2)对数函数的图像与性质0a1图像定义域(0，)值域R性质过定点(1,0)，即x1时，y0当x1时，y0；当0x0当x1时，y0；当0x1时，y0减函数增函数对数函数图像的特征(1)由图可知，0dc1b0，且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、第四象限4反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称二、基本技能思想活
3、动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)loga(MN)logaMlogaN.( )(2)logaxlogayloga(xy)( )(3)函数ylog2x及y3x都是对数函数( )(4)对数函数ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函数( )(5)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同( )2计算log29log342log510log50.25()A0 B2 C4 D6D解析：原式2log23(2log32)log5(1020.25)4log525426.3函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函
4、数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增B解析：ylg|x|是偶函数，由图像知(图略)，函数在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增4若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B. Clog0.5x D2x2A解析：由题意知f(x)logax(a0，且a1)因为f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.5函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图像恒过定点_(2,2)解析：当x2时，函数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2).考点1对数运算问题基础性(1)_
5、.(2)已知2x12，log2y，则xy的值为_(3)设2a5bm，且2，则m_.(1)1(2)2(3)解析：(1)原式1.(2)因为2x12，所以xlog212，所以xylog212log2log242.(3)因为2a5bm0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210.所以m.解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.考点2对数函数的图像及应用综合性(1) 已知
6、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)ln(x1)，则函数f(x)的大致图像为()C解析：先作出当x0时，f(x)ln(x1)的图像，显然图像经过点(0,0)，再作此图像关于y轴对称的图像，可得函数f(x)在R上的大致图像，如选项C中图像所示(2)当0x时，4xlogax，则实数a的取值范围是()A BC(1，) D(，2)B解析：易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图像如图由题意可知只需满足loga4，解得a，所以a1.故选B.1将本例(2)中“4xlogax”变为“4xlogax有解”，则实数a的取值范围为_解析：若方程4xlogax在上有解，则函数y4x与函数ylo
7、gax的图像在上有交点由图像可知解得0a，即a的取值范围为.2若本例(2)变为：已知不等式x2logax0对x恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由x2logax0得x2logax.设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1.考点3对数函数的性质及应用应用性考向1比较函数值的大小设a0.50.4，blog0.40.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcbaCcab DbcaC解析：因为0a0.50.4log0.40.41，clog80.
8、4log810，所以ca1，所以x.简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解考向3对数函数性质的综合问题(1)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上单调递减，则实数a的取值范围是()A(，4) B(4,4C(，4)2，)D4,4)D解析：由题意得x2ax3a0在区间(，2上恒成立，且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，则2且(2
9、)2(2)a3a0，解得4a1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2；当0a1时，ylogau是减函数，f(x)maxloga2，得a(舍去)故a2.解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1，)(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性1(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab DbcaB解析：因为alog20.2201,0c0.20.30.201，所以acb.故选B.2已知不等式logx(2x21)logx3x0成立，则实数x的取值范围是_解析：原不等式或.解不等式组，得x；不等式组无解所以实数x的取值范围是.
