1、4.4二项式定理第1课时二项式定理A级必备知识基础练1.(1-2x)6展开式中,x3的系数为()A.20B.-20C.160D.-1602.(2022四川南充高二期末)在x-2x6的二项展开式中,常数项为()A.256B.240C.192D.1603.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=()A.x4B.x4+1C.(x-2)4D.x4+44.若(1+3x)n(nN+)的二项展开式中,第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为()A.4B.27C.36D.1085.1-1x(1+x)6展开式中x2的系数为()A.-5B.5C.15D.306.在x2-12x9的二项展开
2、式中,第4项的二项式系数是,第4项的系数是.7.x3+ax6的展开式中x6的系数为-160,则a=.8.(2022江苏泰州高二期末)已知x-2x2n的二项展开式中,第2项与第4项的二项式系数之比为112.(1)求正整数n的值;(2)求二项展开式中的常数项.B级关键能力提升练9.使3x+1xxn(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.710.(2022河南名校联盟高二期中)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为15,则a的值为()A.34B.13C.12D.111.(多选题)若二项式x+mx6展开式中的常数项为15,则实数m的值可能为()A.1B.-1C.
3、2D.-212.(多选题)(2022山东菏泽十二校高二期中)在2x-1x4的展开式中,有理项为()A.16x4B.8x2C.24xD.1x213.(多选题)(2022福建龙岩高二期中)若二项式x-1x2n的展开式中含x2的项,则n的取值可能为()A.6B.8C.10D.1414.对于二项式1x+x3n(nN+),有以下四种判断:存在nN+,展开式中有常数项;对任意nN+,展开式中没有常数项;对任意nN+,展开式中没有x的一次项;存在nN+,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.B.C.D.15.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为.16.已知x-
4、2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:(1)n的值;(2)展开式中含x3的项;(3)二项展开式的常数项;(4)二项展开式的所有有理项.C级学科素养创新练17.(2022安徽滁州高二期中)(1)求证:32n+3+40n-27(nN+)能被64整除;(2)求C291+C292+C293+C2929除以9的余数.参考答案4.4二项式定理第1课时二项式定理1.D(1-2x)6展开式的通项为Tr+1=C6r(-2x)r=(-2)rC6rxr,则x3的系数为(-2)3C63=-160.故选D.2.Bx-2x6二项展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-2xr=C6rx6-32r(-2)r.
5、令6-32r=0,解得r=4,所以常数项为T4+1=C64x0(-2)4=240,故选B.3.AS=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C40(x-1)4+C41(x-1)3+C42(x-1)2+C43(x-1)+C44=(x-1)+14=x4,故选A.4.D(1+3x)n二项展开式的通项为Tr+1=Cnr(3x)r.由Cn2=6,得n=4,则T4=C43(3x)3,故第四项的系数为C4333=108.5.A由于(1+x)6二项展开式的通项为Tr+1=C6rxr.当r=2时,x2的系数为C62=15;当r=3时,x3的系数为C63=20,故1-1x(1+x)6展开式
6、中x2的系数为15-20=-5.故选A.6.84-212Tr+1=C9r(x2)9-r-12xr=-12rC9rx18-3r.当r=3时,T4=-123C93x9=-212x9,所以第4项的二项式系数为C93=84,项的系数为-212.7.-2x3+ax6的二项展开式的通项为Tr+1=C6rarx18-4r.令18-4r=6,解得r=3.可得展开式中x6的系数为C63a3=-160,则a=-2.8.解(1)第2项与第4项的二项式系数之比为112,Cn1Cn3=112,即nn(n-1)(n-2)6=112,化简可得n2-3n-70=0,解得n=10或n=-7(舍去).(2)由(1)得二项展开式的
7、通项为Tr+1=C10r(x)10-r-2x2r=(-2)rC10rx10-5r2.令10-5r2=0,则r=2,常数项为第3项,即T3=(-2)2C102=180.9.B由题得,Tr+1=Cnr(3x)n-r1xxr=Cnr3n-rxn-52r.当Tr+1是常数项时,n-52r=0,当r=2,n=5时,成立.故最小的n为5.10.C(1+ax)(1+x)5的展开式中含x3的项为1C53x3+axC52x2=(10+10a)x3,所以10+10a=15,解得a=12,故选C.11.ABx+mx6二项展开式的通项为Tr+1=C6rx6-rmxr=C6rx6-32rmr.令6-32r=0,得r=4
8、.故常数项为C64m4=15,m4=1,解得m=1.故选AB.12.ACD2x-1x4的二项展开式的通项为Tr+1=C4r(2x)4-r-1xr=C4r24-r(-1)rx4-3r2.因为4-3r2Z,且0r4,所以r=0,2,4.当r=0时,T1=24x4=16x4,故A正确;当r=2时,T3=C4222(-1)2x=24x,故C正确;当r=4时,T5=C4420(-1)4x-2=1x2,故D正确.故选ACD.13.BDx-1x2n的二项展开式的通项为Tr+1=Cnrxn-r(-x-2)r=(-1)rCnrxn-3r.由题意知n-3r=2,0rn,nN+,rN,可得r=n-23N,故n=3r
9、+2,rN,故n是被3除余2的正整数,故8,14符合题意.故选BD.14.D1x+x3n的二项展开式的通项为Tr+1=Cnrx4r-n,由通项公式可知,当n=4r(kN+)和n=4r-1(kN+)时,展开式中分别存在常数项和一次项.15.56由题意知,Cn2=Cn6,则n=8.Tr+1=C8rx8-r1xr=C8rx8-2r,当8-2r=-2时,可得r=5,1x2的系数为C85=56.16.解(1)x-2xn的二项展开式的通项为Tr+1=Cnr(x)n-r-2xr=Cnr(-2)rxn-3r2(0rn).由题意可得,4Cn2-(-2)Cn1=2n(n-1)+2n=2n2=162,解得n=9或n
10、=-9(舍去).(2)由(1)可得x-2xn展开式的通项为Tr+1=C9r(-2)rx9-3r2(0r9).令9-3r2=3,可得r=1,则含x3的项为T2=-18x3.(3)令9-3r2=0,可得r=3,则二项展开式的常数项为C93(-2)3=-672.(4)求展开式的有理项,则9-3r2为整数,即r为奇数.因为0r9,可得r=1,3,5,7,9,则二项展开式中的所有有理项为T2=-18x3,T4=-672,T6=-4032x-3,T8=-4608x-6,T10=-512x-9.17.(1)证明由题得,32n+3+40n-27=3(8+1)n+1+40n-27=3(Cn+108n+1+Cn+
11、1n8+Cn+1n+1)+40n-27=3(Cn+108n+1+Cn+1n-182)+24(n+1)+3+40n-27=382(Cn+108n-1+Cn+1n-1)+64n,故原式能被64整除.(2)解由题得,(1+x)29=C290+C291x+C292x2+C293x3+C2929x29,令x=1,得C291+C292+C293+C2929=229-1=4(23)9-1=4(9-1)9-1=4(C9099-C9198+C9891-C9990)-1=4(C9099-C9198+-C9792+C989)-4-1=94(C9098-C9197+-C979+C98)-1+4,故原式除以9的余数是4.
